Inequação do 2° Grau

Uma equação do 2° grau tem a forma ax² + bx + c = 0, já a inequação do 2° grau tem formato semelhante, diferenciando-se apenas pelo fato de o sinal de = ser substituído por alguma das desigualdades: > (maior que), < (menor que), ≥ (maior ou igual a), ≤ (menor ou igual a).

A mesma ideia vista no estudo da variação do sinal de uma função do segundo grau deve ser aplicada para a resolução de uma inequação de 2° grau. Vejamos alguns exemplos de inequações para analisar como é feito o estudo da variação do sinal:

Exemplo 1: x² + x – 2 ≥ 0

Utilizaremos a fórmula de Bhaskara para resolver a função quadrática y = x² + x – 2:

Δ = b² – 4.a.c
Δ = 1² – 4.1.(– 2)
Δ = 1 + 8
Δ = 9

x = – 1 ± √9
       2.1

x = – 1 ± 3
       2

Podemos ter dois resultados:

x₁ = – 1 + 3 = 2 = 1
      2        2

x₂ = – 1 – 3 = – 4 = – 2
   2         2

Analisando o sinal de y, podemos concluir que o gráfico possui concavidade para cima, pois a = 1 > 0. Podemos ainda afirmar que, como Δ = 9 > 0, a função tem duas raízes (1 e – 2). Observe a seguir a variação do sinal para y:

Variação do sinal da função y = x² + x – 2

Para que valores de x teremos y ≥ 0? Esses valores são 1 ≤ x ≤ – 2 e estão destacados em vermelho na imagem acima.

Exemplo 2: – x.(x + 1) < 0

Desenvolvendo a inequação acima, temos: – x² – x < 0. Consideramos y como a função y = – x² – x.

Através da fórmula de Bhaskara, é possível fazer o estudo do sinal da função:

Δ = b² – 4.a.c
Δ = (–1 )² – 4.(– 1).0
Δ = 1

x = – (– 1) ± √1
        2.(– 1)

x = 1 ± 1
      –2

Podemos ter dois resultados:

x₁ = 1 + 1 = 2 = – 1
 – 2    – 2

x₂ = 1 – 1 = 0 = 0
   – 2    – 2

O gráfico dessa função possui concavidade para baixo, pois a = – 1 < 0. Como Δ = 1 > 0, temos duas raízes para essa função (0 e – 1). A variação do sinal ocorre da seguinte forma:

Variação do sinal da função y = – x² – x

Os valores de x para que y < 0 são 0 < x < – 1. Observe que, como o sinal da inequação é <, e não ≤, os valores x = 0 e x = – 1 não compõem a solução da inequação, pois, para esses valores de x, teríamos y = 0. Por essa razão, esses pontos aparecem em branco na imagem da análise da variação do sinal.