Hexágono

O hexágono é um polígono que possui 6 lados. Ele pode ser regular, ou seja, possuir todos os lados congruentes, ou irregular, isto é, possuir pelo menos um lado com medida diferente.

Quando o hexágono é regular, cada um dos seus ângulos internos mede 120°, e independentemente de ser regular ou irregular, a soma dos seus ângulos internos é de 720°. Além disso, quando o hexágono é regular, ele possui fórmula específica para o cálculo da sua área, do seu apótema e do seu perímetro. Já quando o hexágono não é regular, não existe uma fórmula específica.

Leia também: Paralelogramo — figura que possui os lados opostos paralelos entre si

Resumo sobre hexágono

• O hexágono é um polígono que possui 6 lados.

• A soma dos ângulos internos de um hexágono é de 720°.

• O hexágono é regular se possuir todos os ângulos internos congruentes e todos os lados congruentes.

• Em um hexágono regular, cada ângulo interno mede 120°.

• Há fórmulas específicas para calcular a área, o perímetro e o apótema do hexágono regular.

• A fórmula para calcular a área de um hexágono regular de lado l é:

\(A=3\cdot\frac{l^2\sqrt3}{2}\)

• O perímetro de um hexágono regular de lado l é calculado por:

\(P=6l\)

• Para calcular o apótema do hexágono regular de lado l, utilizamos a fórmula:

\(a=\frac{\sqrt3}{2}\cdot l\)

O que é hexágono?

O hexágono é um tipo de polígono, ou seja, uma figura plana fechada por poligonais. Um polígono é classificado como hexágono quando ele possui 6 lados. Sabemos que a figura plana que possui 6 lados possui também 6 ângulos internos.

Elementos do hexágono

Os principais elementos de um polígono são os seus lados, ângulos internos e vértices. Todo hexágono possui 6 lados, 6 ângulos e 6 vértices.

• Os vértices do hexágono são os pontos A, B, C, D, E, F.

• Os lados são os segmentos \(\overline{AB},\overline{BC},\overline{CD},\overline{DE},\overline{EF},\overline{AF}\).

• Os ângulos são \(â, \hat{b},\hat{c},\hat{d},ê,\hat{f}\).

Quais são os tipos de hexágono?

Os hexágonos podem ser separados em dois grupos: os que são classificados como irregulares e os que são classificados como regulares.

• Hexágono regular: um hexágono é considerado regular quando as medidas dos seus lados são todas congruentes, ou seja, todos os lados possuem a mesma medida.

• Hexágono irregular: um hexágono é considerado irregular quando ele não possui todos os lados com a mesma medida.

Quais as propriedades do hexágono?

As principais propriedades do hexágono são:

• A soma dos ângulos internos de um hexágono é de 720°.

Para calcular a soma dos ângulos internos de um polígono, utilizamos a fórmula:

\(\textbf{S}_\textbf{i}=\left(\textbf{n}-\mathbf{2}\right)\cdot\textbf{180°}\)

Como n é o número de lados do polígono, substituindo n = 6, temos que:

\(S_i=\left(6-2\right)\cdot180°\)

\(S_i=4\cdot180°\)

\(S_i=720°\)

• Os ângulos internos de um hexágono regular medem 120° cada.

Como o hexágono regular possui ângulos congruentes, dividindo 720 por 6, temos que 720° : 6 = 120°, ou seja, cada ângulo interno de um hexágono regular mede 120°.

• Um hexágono possui um total de 9 diagonais.

O número de diagonais de um polígono pode ser calculado pela fórmula:

\(d=\frac{(n-3)·n}2\)

Como há 6 lados, temos que:

\(d=\frac{(6-3)·6}2\)

\(d=\frac{3\cdot6}{2}\)

\(d=\frac{18}{2}\)

\(d=9\)

Leia também: Polígonos regulares — grupo que possui lados com medidas iguais e ângulos congruentes

Fórmulas do hexágono regular

A seguir, veremos fórmulas que são exclusivas para os cálculos da área, perímetro e apótema do hexágono regular. O hexágono irregular não possui fórmulas específicas, pois isso depende diretamente da forma que o hexágono assume. Portanto, o hexágono regular é o mais comum e mais importante para a Matemática, já que possui fórmulas específicas.

• Perímetro do hexágono

O perímetro de um hexágono é igual à soma de todos os seus lados. Quando o hexágono é irregular, somamos as medidas de cada um dos seus lados para encontrar o perímetro. Porém, quando o hexágono é regular com lado medindo l, para calcular seu perímetro basta utilizar a fórmula:

\(P=6l\)

Exemplo:

Calcule o perímetro de um hexágono regular que possui um dos lados medindo 7 cm.

Resolução:

P = 6l

P = 6 ⋅ 7

P = 42 cm

• Apótema do hexágono

O apótema de um polígono regular é o segmento de reta que vai do centro do polígono até o ponto médio de um dos lados desse polígono.

Quando traçamos os segmentos dos vértices até o centro do hexágono, ele é dividido em 6 triângulos equiláteros. Então para calcular o apótema, utilizamos a mesma fórmula utilizada para calcular a altura do triângulo equilátero:

\(a=\frac{l\sqrt3}{2}\)

Exemplo:

Um hexágono possui lado medindo 8 cm. Assim, o comprimento do seu apótema é de:

Resolução:

Dado l = 8, temos que:

\(a=\frac{8\sqrt3}{2}\)

\(a=4\sqrt3\)

• Área do hexágono

Existe uma fórmula para calcular a área de um hexágono regular. Como vimos anteriormente, é possível dividir o hexágono regular em 6 triângulos equiláteros. Dessa forma, multiplicamos a área do triângulo equilátero por 6 para encontrar a área do hexágono. A fórmula da área do hexágono é:

\(A=6\cdot\frac{l^2\sqrt3}{4}\)

Simplificando por 2, temos que:

\(A=3\cdot\frac{l^2\sqrt3}{2}\)

Exemplo:

Qual é a área do hexágono que possui lado medindo 6 cm?

Resolução:

Substituindo l por 6, temos que:

\(A=3\cdot\frac{6^2\sqrt3}{2}\)

\(A=3\cdot\frac{36\sqrt3}{2}\)

\(A=3\cdot18\sqrt3\)

\(A=54\sqrt3cm^2\)

Prisma de base hexagonal

O hexágono está presente também em figuras espaciais, logo é essencial conhecer as fórmulas do hexágono regular para o estudo dos sólidos geométricos. Veja a seguir o prisma de base hexagonal.

O valor do volume do prisma é obtido pela multiplicação entre a área da base e a altura. Como a base é um hexágono regular, o volume de um prisma de base hexagonal pode ser calculado pela fórmula:

\(V=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h\)

Pirâmide de base hexagonal

O hexágono pode estar também na base de pirâmides, as pirâmides de base hexagonal.

Para calcular o volume de uma pirâmide que tem como base um hexágono regular, é essencial saber como calcular a área da base do hexágono. O volume da pirâmide, de modo geral, é igual ao produto entre a área da base e a altura dividido por 3. Como a área da base é igual à área do hexágono, temos que:

\(V=3\cdot\frac{l^2\sqrt3}{2}\cdot\frac{h}{3}\)

Simplificando a fórmula, o volume de uma pirâmide de base hexagonal pode ser calculado por:

\(V=\frac{l^2\sqrt3h}{2}\)

Leia também: Principais diferenças entre figuras planas e espaciais

Hexágono inscrito em uma circunferência

O hexágono regular pode ser representado dentro da circunferência, ou seja, inscrito em uma circunferência. Quando representamos o hexágono regular dentro da circunferência, o raio dela é igual ao comprimento do lado.

Hexágono circunscrito a uma circunferência

O polígono fica circunscrito quanto representamos uma circunferência contida dentro desse polígono. No hexágono regular, é possível representar essa circunferência de modo que o seu raio seja igual ao apótema do hexágono:

Exercícios resolvidos sobre hexágono

Questão 1

Uma região possui formato de um hexágono regular. Sabendo que o lado desse hexágono mede 3 metros e utilizando \(\sqrt3\) = 1,7, podemos afirmar que a área dessa região é de:

A) \(18\ m^2\)

B) \(20,5{\ m}^2\)

C) \(22,95\ m^2\)

D) \(25{\ m}^2\)

E) \(27,22\ m^2\)

Resolução:

Alternativa C

Calculando a área, temos que:

\(A=3\cdot\frac{l^2\sqrt3}{2}\)

\(A=3\cdot\frac{3^2\cdot1,7}{2}\)

\(A=3\cdot\frac{9\cdot1,7}{2}\)

\(A=3\cdot\frac{15,3}{2}\)

\(A=\frac{45,9}{2}\)

\(A=22,95\ m^2\)

Questão 2

(Aeronáutica) Dado um hexágono regular de 6 cm de lado, considere o seu apótema medindo a cm e o raio da circunferência a ele circunscrita medindo R cm. O valor de (R + \(a\sqrt3\)) é:

A) 12

B) 15

C) 18

D) 25

Resolução:

Alternativa B

O raio da circunferência circunscrita é igual à medida do lado, ou seja, R = 6. Já o apótema é calculado por:

\(a=\frac{l\sqrt3}{2}=\frac{6\sqrt3}{2}=3\sqrt3\)

Então, temos que:

\(\left(6+3\sqrt3\cdot\sqrt3\right)\)

\(\ 6+3\cdot3\)

\(6+9\ \)

\(15\)