As grandezas inversamente proporcionais estão constantemente presentes no nosso dia, como na relação entre velocidade e tempo ou entre densidade e volume.
Grandezas inversamente proporcionais são aquelas que apresentam uma relação de proporção entre si de forma inversa. Isso quer dizer que à medida que o valor de uma grandeza aumenta, o valor da outra grandeza diminui na mesma proporção. Podemos perceber a presença de grandezas inversamente proporcionais no nosso cotidiano — por exemplo, na relação entre velocidade e tempo. Quanto maior a velocidade, menor será o tempo gasto para percorrer uma certa distância. Essa relação é proporcional, pois, se dobrarmos a velocidade, o tempo será a metade do tempo anterior. Analisar se as grandezas são inversamente proporcionais nos permite prever qual será o comportamento da grandeza.
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O que são grandezas inversamente proporcionais?
Conhecemos como grandeza tudo o que pode ser medido, como a velocidade, tempo, comprimento, densidade, volume, massa, aceleração, força. Enfim, estamos constantemente cercados de grandezas.
Quando analisamos a relação entre as duas grandezas, dizemos que ambas são inversamente proporcionais se à medida que o valor de uma dessas grandezas aumenta, o valor da outra diminui na mesma proporção.
Em várias situações do nosso cotidiano, essas grandezas se relacionam. Por exemplo, sabemos que há uma relação entre a vazão de uma torneira e o tempo gasto para encher um tanque, pois se aumentarmos a quantidade de água que sai da torneira, ou seja, a sua vazão, menor será o tempo gasto para encher o tanque. É importante perceber que isso ocorre de forma proporcional. Por exemplo, se a torneira levava um tempo x para encher o tanque e a sua vazão dobrar, o tempo gasto será a metade de x. Se a vazão for 3 vezes maior, o tempo gasto será um terço de x e assim sucessivamente. Dizemos então que essas grandezas se relacionam de forma inversamente proporcional.
Exemplos de grandezas inversamente proporcionais
- Velocidade e tempo: Como vimos anteriormente, a velocidade e o tempo são grandezas que se relacionam de forma inversamente proporcional, pois em uma distância fixa, se diminuirmos a velocidade, o tempo gasto para percorrer essa distância será maior.
- Impressões feitas e quantidade de tinta restante: Em uma máquina de impressora, sabemos que há uma relação inversamente proporcional entre o número de impressões e a quantidade de tinta restante, pois quanto maior o número de impressões realizadas, menor será a quantidade de tinta restante na máquina.
Como calcular grandezas inversamente proporcionais
Considerando os números a, b, c e d, com b e d diferentes de 0, se a e b são inversamente proporcionais a c e d, temos que:
\(\frac{a}{\frac{1}{b}}=\frac{c}{\frac{1}{d}}\)
Exemplo:
Para realizar determinado percurso a 60 km/h, um veículo demora 3 horas. Caso a velocidade seja de 90 km/h, qual será o tempo gasto por esse veículo?
Sabemos que 60 está para 3 assim como 90 está para x, logo:
\(\frac{60}{\frac{1}{3}}=\frac{90}{\frac{1}{x}}\)
Multiplicando cruzado:
\(60\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{3}\cdot90\)
\(\frac{60}{x}=\frac{90}{3}\)
\(\frac{60}{x}=30\)
\(30x=60\ \)
\(x=\frac{60}{30}\)
\(x=2\ horas\)
O tempo gasto será de 2 horas.
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Grandezas inversamente proporcionais x grandezas diretamente proporcionais
Ao comparar duas grandezas, pode ocorrer outra forma de proporcionalidade bastante comum, caracterizando as chamadas grandezas diretamente proporcionais. A diferença é que duas grandezas são diretamente proporcionais quando à medida que o valor de uma grandeza aumenta, o da outra também aumenta na mesma proporção. Podemos ver essa situação, por exemplo, na relação entre a distância percorrida e o combustível consumido: quanto maior a distância percorrida, maior será o combustível consumido e na mesma proporção, pois se a distância dobrar, o combustível consumido também dobrará.
Exercícios resolvidos sobre grandezas inversamente proporcionais
Questão 1
Em uma construção, com colaboradores igualmente produtivos, constatou-se que 5 operários demorariam 15 dias para terminar a obra. Caso a empresa precise reduzir o tempo para 1 semana, será necessário que essa empresa contrate mais
A) 4 funcionários.
B) 5 funcionários.
C) 6 funcionários.
D) 8 funcionários.
E) 11 funcionários.
Resolução:
Alternativa C
O tempo e a quantidade de operários são grandezas inversamente proporcionais. Logo, quanto maior a quantidade de operários, menor o tempo. Como uma semana tem 7 dias, sabemos que 5 está para 15 assim como x está para 7.
\(\frac{5}{\frac{1}{15}}=\frac{x}{\frac{1}{7}}\)
\(5\cdot\frac{1}{7}=x\cdot\frac{1}{15}\)
\(\frac{5}{7}=\frac{x}{15}\)
\(7x\ =\ 5\ \cdot15\)
\(7x\ =\ 75\)
\(x=\frac{75}{7}\)
\(x=10,7\ \)
Como é impossível contratar 10,7 funcionários, é necessário que a empresa tenha 11 funcionários. Entretanto, ela já possui 5, logo será necessário que a empresa contrate mais 6 funcionários.
Questão 2
Em cada alternativa a seguir há duas grandezas que podem se relacionar ou não. Marque a alternativa em que as grandezas se relacionam de forma inversamente proporcional.
A) A velocidade de um meio de transporte e a distância percorrida em um mesmo tempo.
B) A quantidade de impressões e a capacidade de impressão de uma gráfica.
C) O número de pessoas em uma festa e a quantidade de bebida consumida.
D) O número de erros em uma prova e o número de acertos nessa mesma prova.
E) O número de estudantes em uma sala e as notas dos alunos.
Resolução:
Alternativa D
Quanto maior o número de erros em uma prova, menor será o número de acertos, logo essas grandezas são inversamente proporcionais.