Função raiz

A função raiz (também chamada de função com radical ou função irracional) é uma função em que a variável aparece no radicando. O exemplo mais simples desse tipo de função é \(f(x)=\sqrt{x}\), que associa cada número real positivo x à sua raiz quadrada \(\sqrt{x}\).

Leia também: Função logarítmica — a função cuja lei de formação é f(x) = logₐx

Resumo sobre função raiz

• A função raiz é uma função em que a variável aparece no radicando.

• Geralmente, a função raiz é descrita como uma função na seguinte forma

\(f(x)=\sqrt[n]{p(x)}\)

• As funções \(\sqrt{x}\) e \(\sqrt[3]{x}\) são exemplos desse tipo de função.

• Para determinar o domínio de uma função com raiz, é necessário verificar o índice e o logaritmando.

• Para calcular o valor de uma função para determinado x, basta substituir na lei da função.

O que é função raiz?

Também chamada de função com radical ou função irracional, a função raiz é a função que possui, em sua lei de formação, a variável no radicando. Neste texto, vamos considerar a função raiz como toda função f que apresenta o seguinte formato:

\(f(x)=\sqrt[n]{p(x)}\)

• n → número natural não nulo.

• p(x) → polinômio.

Vejamos alguns exemplos desse tipo de função:

\(f(x)=\sqrt{x}\)

\(g(x)=\sqrt[3]{x}\)

\(h(x)=\sqrt{x-2}\)

Importante: o nome função irracional não significa que uma função desse tipo apresenta apenas números irracionais no domínio ou na imagem. Na função \(f(x)=\sqrt{x}\), por exemplo, \(f(4)=\sqrt{4}=2 \) e tanto 2 quanto 4 são números racionais.

O domínio de uma função raiz depende do índice n e do radicando que aparecem em sua lei de formação:

• Se o índice n é um número par, então a função está definida para todos os números reais em que o logaritmando é maior ou igual a zero.

Exemplo:

Qual o domínio da função \(f(x)=\sqrt{x-2}\)?

Resolução:

Como n = 2 é par, essa função está definida para todos os reais x tais que

\(x - 2 ≥ 0\)

Ou seja,

\(x ≥ 2\)

Logo, \(D(f)=\{x∈R\ |\ x≥2\}\).

• Se o índice n é um número ímpar, então a função está definida para todos os números reais.

Exemplo:

Qual o domínio da função \(g(x)=\sqrt[3]{x+1}\)?

Resolução:

Como n = 3 é ímpar, essa função está definida para todos os reais x. Logo,

\(D(g)=\mathbb{R}\)

Como a função raiz é calculada?

Para calcular o valor de uma função raiz para determinado x, basta substituir na lei da função.

Exemplo:

Calcule \(f(5)\) e \(f(7)\) para \(f(x)=\sqrt{x-1}\).

Resolução:

Note que \(D(f)=\{x∈R\ |\ x≥1\}\). Assim, 5 e 7 pertencem ao domínio dessa função. Portanto,

\(f(5)=\sqrt{5-1}=\sqrt4\)

\(f(5)=2\)

\(f(7)=\sqrt{7-1}\)

\(f(7)=\sqrt6\)

Gráfico da função raiz

Vamos analisar os gráficos das funções \(f(x)=\sqrt{x}\) e \(g(x)=\sqrt[3]{x}\).

→ Gráfico da função raiz \(\mathbf{f(x)=\sqrt{x}}\)

Note que o domínio da função f é o conjunto dos números reais positivos e que a imagem assume apenas valores positivos. Assim, o gráfico de f está no primeiro quadrante. Além disso, f é uma função crescente, pois quanto maior o valor de x, maior o valor de x.

→ Gráfico de uma função raiz \(\mathbf{g(x)=\sqrt[3]{x}}\)

Como o domínio da função f é o conjunto dos números reais, devemos analisar o que acontece para os valores positivos e negativos:

• Quando x é positivo, o valor de \(\sqrt[3]{x}\) também é positivo. Além disso, para \(x>0\), a função é crescente.

• Quando x é negativo, o valor de \(\sqrt[3]{x}\) também é negativo. Além disso, para \(x<0\), a função é decrescente.

Acesse também: Como construir o gráfico de uma função?

Exercícios resolvidos sobre função raiz

Questão 1

O domínio da função real \(f(x)=2\sqrt{3x+7}\) é

A) \( (-∞;3]\)

B) \( (-∞;10]\)

C) \( [-7/3;+∞)\)

D) \( [0;+∞)\)

E) \( [\frac{7}{3};+∞)\)

Resolução:

Alternativa C.

Como o índice do termo \(\sqrt{3x+7}\) é par, o domínio dessa função é determinado pelo logaritmando, que deve ser positivo. Assim,

\(3x+7≥0\)

\(3x≥-7\)

\(x≥-\frac{7}3\)

Questão 2

Considere a função \(g(x)=\sqrt[3]{5-2x}\). A diferença entre \(g(-1,5)\) e \(g(2)\) é

A) 0,5.

B) 1,0.

C) 1,5.

D) 3,0.

E) 3,5.

Resolução:

Alternativa B.

Como o índice é ímpar, a função está definida para todos os reais. Assim, podemos calcular \(g(-1,5)\) e \(g(2)\) ao substituir os valores de x na lei da função.

\(g(-1,5)=\sqrt[3]{5-2 · (-1,5)}\)

\(g(-1,5)=\sqrt[3]{5+3}\)

\(g(-1,5)=\sqrt[3]8\)

\(g(-1,5)=2\)

Ainda,

\(g(2)=\sqrt[3]{5-2 · (2)}\)

\(g(2)=\sqrt[3]{5-4}\)

\(g(2)=\sqrt1\)

\(g(2)=1\)

Portanto,

\(g(-1,5)-g(2) = 2 - 1 = 1\)

Fontes

LIMA, Elon L. et al. A Matemática do Ensino Médio. 11. ed. Coleção Professor de Matemática. Rio de Janeiro: SBM, 2016. v.1.

PINTO, Márcia M. F. Fundamentos de Matemática. Belo Horizonte: Editora UFMG, 2011.