A função modular é um tipo de função que possui como característica em sua lei de formação a presença da variável dentro do módulo. O domínio e o contradomínio de uma função desse tipo é o conjunto dos números reais.
Vale lembrar que o módulo de um número é o valor absoluto dele, ou seja, a distância que esse número está do 0. A distância é uma grandeza que é sempre positiva, logo, o módulo de um número sempre será positivo. Ter o módulo na lei de formação faz com que o gráfico de uma função modular, fique com a sua maior parte acima do eixo horizontal.
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Definição da função modular
Uma função f: R → R é conhecida como função modular quando a lei de formação da função apresenta a variável dentro do módulo.
Exemplos:
a) f(x) = |x|
b) g(x) = | 2x – 3|
c) h(x) = | x² – 5x + 4|
Nesse caso, é importante lembrar a definição de módulo.
Para representar o módulo de um número n, representamos o número entre barras retas |n|:
O módulo n pode ser dividido em dois casos:
- quando n é positivo |n| = n,
- quando n é negativo, então |n| = – n.
Veja também: Inequação modular – desigualdade cuja incógnita se encontra dentro de um módulo
Gráfico de uma função modular
Para representar a função modular em um gráfico, é importante compreender que não existe só um tipo de comportamento comportamento, pois podemos ter diferentes leis de formação dentro do módulo. Então faremos a representação gráfica dos casos mais recorrentes de função modular.
-
Exemplo de função modular do 1ºgrau
Começando pelo exemplo mais simples, faremos a construção do gráfico de funções modulares em que há uma função do 1º grau dentro do módulo.
Exemplo:
f(x) = |x|
Nesse caso, podemos dividir a lei de formação em dois casos, consequentemente o gráfico também será dividido em dois momentos. Aplicando a definição de módulo temos que:
Sendo assim, o gráfico da função também será composto pelo gráfico das funções f(x) = -x, antes de interceptar o eixo y, e f(x) = x.
Para construir o gráfico, devemos encontrar o valor para alguns números:
|
x |
f(x) = |x| |
(x,y) |
|
0 |
f(0) = |0| = 0 |
A (0,0) |
|
1 |
f(1) = |1| = 1 |
B (1,1) |
|
2 |
f(2) = |2| = 2 |
C (2,2) |
|
– 1 |
f(–1) = |–1| = 1 |
D (– 1,1) |
|
– 2 |
f(–2) = |–2| = 2 |
E ( – 2,2) |
Agora representando esses pontos no plano cartesiano, teremos o seguinte gráfico:
Sempre que houver uma função afim dentro do módulo, o gráfico pode ser dividido conforme o gráfico apresentado. O ponto em que o comportamento da função muda é sempre no 0 da função.
Exemplo 2:
f(x) = |3x – 6|
Para construir o gráfico dessa função, vamos encontrar primeiro o 0 da função:
3x – 6 = 0
3x = 6
x = 6/3
x = 2
Agora montamos a tabela escolhendo valores para x, sendo, pelo menos, dois valores maiores que o 0 da função e dois valores menores que o 0 da função:
|
x |
f(x) = |3x – 6| |
(x,y) |
|
2 |
f(2) = |3·2 – 6| = 0 |
A(2,0) |
|
3 |
f(3) = |3·3 – 6| = 3 |
B(3,3) |
|
4 |
f(4) = |3·4 – 6| = 6 |
C(4,6) |
|
0 |
f(0) = |3·0 – 6| = 6 |
D(0,6) |
|
1 |
f(1) = |3·1 – 6| = 3 |
E( 1,3) |
-
Exemplo de função modular de 2º grau
Além da função polinomial do 1º grau, outra função bastante comum é a função quadrática dentro do módulo. Quando há uma função do 2º grau no módulo, é importante lembrar o estudo de sinal dessa função, para compreender melhor esse caso, vamos resolver um exemplo de função modular de 2º grau:
Exemplo:
f(x) = |x² – 8x + 12|
- 1º passo: encontrar os 0 da função f(x) = x² – 8x + 12.
Para encontrar os 0 da função utilizamos a fórmula de Bhaskara:
a = 1
b = – 8
c = 12
Δ = b² – 4ac
Δ = ( – 8) ² – 4·1·12
Δ = 64 – 48
Δ = 16
Agora vamos calcular o vértice da função quadrática e calcular seu módulo, caso seja necessário:
xv= (6+2) : 2 = 4
yv = |x² – 8x + 12| = |4² – 8·4 +12 | = |16 – 32 + 12| = | – 4| = 4
Vale lembrar que entre os 0 da função, a função x² – 8x + 12 teria valores negativos, mas pela definição de módulo esse valor mantém-se positivo.
Por fim, sabemos que o gráfico toca o eixo y no ponto em que x = 0.
f(0) = |x² – 8x + 12|
f(0) = |0² – 8·0+12| = 12
Então, conhecemos quatro pontos do gráfico da função:
- Os 0: A(6,0) e B(2,0)
- O seu vértice C(4,4)
- O ponto em que o gráfico toca o eixo y D(0,12)
Lembrando-se do estudo de sinal de uma função quadrática, na função x² – 8x + 12 temos a = 1, o que faz com que a concavidade da função seja para cima. Quando isso ocorre, entre os 0 da função, y é negativo. Como estamos trabalhando com uma função modular, entre os vértices, o gráfico será simétrico em relação ao eixo x gráfico da função x² – 8x + 12.
Vamos traçar o gráfico da função:
Propriedades da função modular
Vale lembrar que em uma função modular, todas as propriedades do módulo são válidas, são elas:
Considere n e m como números reais.
- 1ª propriedade: o módulo de um número real é igual ao módulo do seu oposto:
|n| = |-n|
- 2ª propriedade: o módulo de n ao quadrado é igual ao módulo do quadrado de n:
|n²|= |n|²
- 3ª propriedade: o módulo do produto é igual ao produto dos módulos:
|n·m| = |n| ·|m|
- 4ª propriedade: o módulo da soma é sempre menor ou igual a soma dos módulos:
|m + n| ≤ |m| + |n|
- 5ª propriedade: o módulo da diferença é sempre maior ou igual à diferença dos módulos:
|m – n| ≥ |m| – |n|
Acesse também: Quais as diferenças entre função e equação?
Exercícios resolvidos
Questão 1 – (EEAR) Seja f(x) = | 3x – 4 | uma função. Sendo a ≠ b e f(a) = f(b) = 6, então o valor de a + b é igual a
A) 5/3
B) 8/3
C) 5
D) 3
Resolução
Alternativa B. Se f(a) = f(b) com a ≠ b então sabemos que existem duas possibilidades para |3x – 4| = 6, sendo elas:
3x – 4 = 6 ou 3x – 4 = – 6
Sabemos que:
|3b – 4| = | 3a – 4|
Suponha então que:
3b – 4 = 6
Logo:
3a – 4 = – 6
3b = 6+4
3b= 10
b = 10/3
3a – 4 = – 6
3a = – 6 + 4
3a = – 2
a = – 2/3
Dessa forma, a + b é igual a 8/3.
Questão 2 – Dada a função f(x) = |x² – 8| todos são os valores que fazem com que f(x) = 8 são:
A) 4 e – 4
B) 4 e 0
C) 3 e – 3
D) – 4, 0 e 4
E) 0
Resolução
Alternativa D.
Para que |x² – 8| = 8 temos que:
x² – 8 = 8 ou x² – 8 = – 8
Resolvendo a primeira:
x² – 8 = 8
x² = 8 + 8
x² = 16
x= ± √16
x = ± 4
Resolvendo a segunda:
x² – 8 = – 8
x² = – 8 + 8
x² = 0
x = 0