Função logarítmica

Chamamos de função logarítmica a função que possui domínio nos números reais positivos e contradomínio nos números reais, e, além disso, sua lei de formação é f(x) = log_ax. Existe uma restrição para a base em que “a” do logaritmo precisa ser um número positivo diferente de 1. É bastante comum ver-se aplicações de função logarítmica no comportamento de reações químicas, na matemática financeira, e na medida da magnitude de terremotos. 

O gráfico dessa função sempre estará no primeiro e quarto quadrantes do plano cartesiano, já que o domínio é o conjunto dos números reais positivos, ou seja, o valor de x nunca será negativo  nem zero. Esse gráfico pode ser crescente ou decrescente, a depender do valor da base da função. A função logarítmica comporta-se como inversa da exponencial.

Leia também: Definição e demonstração de domínio, contradomínio e imagem

O que é função logarítmica?

Uma função é tida como logarítmica quando f: R*+ → R, ou seja, o domínio é o conjunto dos números reais positivos e não nulos e o contradomínio é o conjunto dos números reais, além disso, sua lei de formação é igual a:

f(x) = log_ax

f(x) → variável dependente

x→ variável independente

a → base do logaritmo

Por definição, em uma função, a base do logaritmo tem que ser um número positivo e diferente de 1.

Exemplos:

a) f(x) = log₂x  

b) y = log₅ x

c) f(x) = logx

d) f(x) = log_1/2x

Domínio da função logarítmica

Para que a função seja contínua, por definição, o domínio de uma função logarítmica é o conjunto dos números reais positivos diferentes de zero, isso significa que x sempre será um número positivo, o que faz com que o gráfico da função restrinja-se ao primeiro e segundo quadrantes.

Caso x pudesse admitir um valor negativo (sendo assim o domínio não teria as restrições citadas), encontraríamos situações de indeterminação, pois é impossível que uma base negativa elevada a um número qualquer tenha como resultado um número positivo, o que contraria inclusive a definição de função.

Por exemplo, supondo x = -2, então f(-2) = log₂ -2, não havendo valor algum que faça com que 2^y = -2. No entanto, na definição de função, para todo elemento no domínio, precisa existir um elemento correspondente no contradomínio. Sendo assim, é importante que o domínio seja R*+ para que se tenha uma função logarítmica.

Veja também: Quais as diferenças entre função e equação?

Gráfico da função logarítmica

Existem duas possibilidades de comportamento para o gráfico de uma função logarítmica, podendo ser crescente ou decrescente. Um gráfico é conhecido como crescente quando à medida que o valor de x aumenta, o valor de f(x) também aumenta, e como decrescente quando à medita que o valor de x aumenta, o valor de f(x) diminui.

Para verificar se a função é crescente ou decrescente, é necessário analisar o valor da base do logaritmo:

Dada a função f(x) = log_ax

• Se a > 1 → f(x) é crescente. (Quando a base do logaritmo é um número maior que 1, a função é crescente.)
• Se 0 < a < 1 → f(x) é decrescente. (Quando a base do logaritmo é um número entre 0 e 1, então a função é decrescente.)

• Função crescente

Para construção do gráfico, vamos atribuir valores para x e encontrar o correspondente em y.

Exemplo:

f(x) = log₂x

Marcando-se os pontos no plano cartesiano, é possível realizar-se a representação gráfica.

Como a base era maior que 1, então é possível perceber que o gráfico da função comporta-se de forma crescente, ou seja, quanto maior o valor de x, maior será o valor de y.

• Função decrescente

Para realizar a construção, utilizaremos o mesmo método feito anteriormente.

Exemplo:

Encontrando alguns valores numéricos na tabela, teremos:

Realizando a marcação dos pares ordenados no plano cartesiano, encontraremos a seguinte curva:

É importante perceber que quanto maior o valor de x, menor será sua imagem y, o que torna esse gráfico decrescente de uma função logarítmica. Isso ocorre porque a base é um número entre 0 e 1.

Acesse também: Funções no Enem: como esse tema é cobrado?

Função logarítmica e função exponencial

Essa relação é bastante importante para compreender-se o comportamento das funções. Acontece que tanto a função logarítmica quanto a função exponencial são inversíveis, ou seja, admitem inversa, além disso, a função logarítmica é a inversa da função exponencial e vice-versa, veja:

Para encontrar a lei de formação e o domínio e contradomínio da função inversa, precisamos, primeiramente, inverter o domínio e o contradomínio. Se a função logarítmica, como vimos, vai dos R*+ → R, então a função inversa terá domínio e contradomínio R → R*+, além disso, vamos inverter a lei de formação.

y = log_ax

Para inverter, trocamos x e y de lugar, e isolamos o y, então teremos:

x = log_ay

Aplicando a exponencial de a dos dois lados, temos que:

a^x  = a^logay

a^x  = y → função exponencial

Exercícios resolvidos

Questão 1 – (Enem) A Escala e Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada como MW), introduzida em 1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala Richter, a MMS é uma escala logarítmica. M_W e M₀ se relacionam pela fórmula:

Em que M₀ é o momento sísmico (usualmente estimado com base nos registros de movimento da superfície, por meio dos sismogramas), cuja unidade é o dina⋅cm. O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior impacto no Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude M_W = 7,3.

Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, qual foi o momento sísmico M₀?

A) 10^-5,10

B) 10^-0,73

C) 10^12,00

D) 10^21,65

E) 10^27,00

Resolução

Alternativa E

Para encontrar o M₀, vamos substituir o valor da magnitude dado na questão:

Questão 2 – (Enem 2019 – PPL) Um jardineiro cultiva plantas ornamentais e as coloca à venda quando atingem 30 centímetros de altura. Esse jardineiro estudou o crescimento de suas plantas, em função do tempo, e deduziu uma fórmula que calcula a altura em função do tempo, a partir do momento em que a planta brota do solo até o momento em que ela atinge sua altura máxima, de 40 centímetros. A fórmula é h = 5·log₂ (t + 1), em que t é o tempo contado em dia, e h, a altura da planta em centímetro.

A partir do momento em que uma dessas plantas é colocada à venda, em quanto tempo, em dias, ela alcançará sua altura máxima?

A) 63

B) 96

C) 128

D) 192

E) 255

Resolução

Alternativa D

Seja:

t₁ o tempo que a planta leva para atingir h₁ = 30 cm

t₂ o tempo que a planta leva para atingir h₂ = 40 cm

Queremos encontrar o intervalo de tempo entre h₁ = 30 cm e h₂ = 40 cm. Para isso, vamos substituir cada um deles na lei de formação, e fazer a diferença entre t₂ e t₁.

Encontrando t₁:

Agora vamos encontrar o valor de t₂:

O tempo t é a diferença t₂  – t₁ = 255 – 63 = 194.