Função do 2º grau

Uma função é uma regra que liga cada elemento de um conjunto A a um único elemento de um conjunto B. No Ensino Fundamental, as funções estudadas possuem apenas duas variáveis.

A primeira é chamada de variável independente, é geralmente representada pela letra x e pode assumir qualquer valor dentro de um conjunto numérico dado. A segunda, chamada de variável dependente, costuma ser representada pela letra y e seu valor está relacionado com o valor da variável x. A função do segundo grau é uma regra que possui as características descritas acima e, pelo menos, uma variável independente elevada ao quadrado.

As funções do segundo grau, portanto, relacionam a variável x à variável y e são escritas, geralmente, na forma reduzida a seguir:

f(x) = y = ax² + bx + c

• a, b e c são números reais quaisquer;

• a sempre é diferente de zero;

• f(x) é uma segunda notação muito utilizada nesse conteúdo que ajuda na organização dos cálculos.

Exemplos de função do segundo grau

Os exemplos a seguir são de funções do segundo grau:

a) y = 2x² + 2x + 3. Observe que a = 2, b = 2 e c = 3;

b) y = 3x² – 9. Observe que a = 3, b = 0 e c = – 9;

c) f(x) = x². Observe que a = 1, b = 0 e c = 0;

Domínio e imagem

As funções do segundo grau, assim como qualquer função, possuem domínio, contradomínio e imagem. Tendo em vista a definição dada no início do texto:

“Uma função é uma regra que liga cada elemento de um conjunto A a um único elemento de um conjunto B.”

A variável independente x pode assumir qualquer valor entre os elementos do conjunto A. Como ela “comanda” o resultado encontrado na variável y, então o conjunto A é “dominante” e é chamado de Domínio. Por sua vez, a variável independente pode assumir qualquer valor entre os elementos do conjunto B; assim, esse conjunto recebe o nome de Contradomínio.

É obrigatório que a função faça “ligações entre conjuntos” usando todos os elementos do conjunto A, mas nem sempre todos os elementos do conjunto B. Todos os elementos do conjunto B que são imagem de algum elemento do conjunto A são chamados de Imagem.

Na função do segundo grau f(x) = y = x², por exemplo, cujo domínio e o contradomínio são o conjunto dos números reais, temos os seguintes resultados:

x = 3, então y = 3² = 9;

x = 2, então y = 2² = 4;

x = 1, então y = 1² = 1;

x = – 1, então y = (– 1)² = 1;

x = – 2, então y = (– 2)² = 4.

Observe que, para valores positivos de x, a função apresenta imagens positivas e, para valores negativos de x, a função também apresenta imagens positivas. Como a função foi definida com contradomínio nos números reais, os números negativos não são resultados possíveis e a imagem fica sendo apenas o conjunto dos números reais não negativos.

Raízes da função do segundo grau

As raízes de uma função são os valores que a variável independente assume e que fazem com que a imagem da função seja zero. Assim, para encontrar as raízes de uma função do segundo grau, escreva y = 0 e substitua y por esse valor. Observe o exemplo:

y = x² + 8x – 9

0 = x² + 8x – 9

Dessa maneira, encontraremos os valores de x que zeram a função. Para tanto, utilizaremos a fórmula de Bhaskara ou o método de completar quadrados.

x² + 8x – 9 = 0

x² + 8x = 9

x² + 8x + 16 = 9 + 16

x² + 8x + 16 = 25

(x + 4)² = 25

√[(x + 4)²] = √25

x + 4 = ± 5

x = – 4 ± 5

x' = – 4 – 5

x' = – 9

x'' = – 4 + 5

x'' = 1

Assim, as raízes dessa função são – 9 e 1.

O gráfico de uma função do segundo grau

Toda função pode ser representada por um gráfico em um plano cartesiano. A figura relacionada com a função do segundo grau é a parábola. Essa figura pode ser obtida marcando-se ponto a ponto de um plano cartesiano os resultados obtidos ao procurar valores de y relacionados com cada valor de x. Se desenharmos todos os pontos da função y = x², visualizaremos o seguinte gráfico:

Esse gráfico pode ser desenhado de maneira prática com apenas três de seus pontos – vértice e raízes ou vértice e dois pontos aleatórios em que um está à direita e outro está à esquerda do vértice.

O vértice é o ponto mais alto ou o ponto mais baixo de uma parábola. No caso do exemplo acima, é o ponto mais alto o que toca o ponto (0,0). Para encontrar suas coordenadas (x_v, y_v) podemos utilizar as seguintes fórmulas:

x_v = – b
2a

y_v = –Δ
4a

*Δ = b² – 4ac.

Para encontrar as raízes e desenhar a parábola, utilize a fórmula de Bhaskara ou qualquer método conhecido. Caso não haja raízes ou por qualquer outro motivo não exista a possibilidade desse cálculo, faça o seguinte:

1 – Encontre as coordenadas do vértice;

2 – Faça x_v + 1 e calcule o valor de y correspondente a esse número;

3 – Faça x_v – 1 e calcule o valor de y correspondente a esse número.

Os quatro valores obtidos acima serão as coordenadas dos pontos que podem ser usados para desenhar a parábola.

Análise do sinal

Tendo em vista que a função do segundo grau é uma parábola, é possível analisar o sinal de Δ para saber quantas raízes essa função terá. A raiz de uma função é o valor de x que faz y igual a zero. Dessa maneira, no gráfico, uma raiz é o ponto em que a parábola encontra-se com o eixo x.

Três funções parecidas que possuem número diferente de raízes

As parábolas na imagem acima representam funções do segundo grau e possuem um número diferente de raízes. A primeira, em azul, é o gráfico da função y = x² + 1, que não possui raízes reais. Observe que o valor de Δ dessa função é negativo e é justamente por esse motivo que concluímos a não existência de raízes reais.

A segunda função, em roxo, é o gráfico de y = x². Observe que existe apenas uma raiz real, x = 0 e Δ = 0.

A terceira função, em vermelho, é gráfico de y = x² – 1. Observe que ela possui duas raízes reais, x = 1 e x = – 1, e que Δ é maior que zero.

Concluímos, então, que, quando uma função possui Δ < 0, ela não possui raízes reais. Quando uma função possui Δ = 0, existe apenas uma raiz real e, quando Δ > 0, a função possui duas raízes reais distintas.

Ponto de máximo e mínimo

O ponto de máximo e o ponto de mínimo coincidem com o vértice de uma parábola e são, respectivamente, o ponto mais alto e o ponto mais baixo que uma parábola pode atingir.

Se uma parábola possui o vértice voltado para baixo, então ela possui um ponto de mínimo e não possui ponto de máximo, pois segue infinitamente para cima, e vice-versa.

Não é necessário construir o gráfico de uma função sempre que for pedido seu ponto de máximo ou mínimo. Para encontrar as coordenadas desses pontos, basta encontrar as coordenadas do vértice (x_v, y_v). Entenda como fazer isso com os macetes a seguir:

Macetes

Existem alguns macetes para funções do segundo grau parecidos com a análise dos sinais acima.

Quando a > 0, o gráfico da função é uma parábola com a “boca” voltada para cima e o vértice para baixo (o vértice é ponto de mínimo);

Quando a < 0, o gráfico da função é uma parábola com a “boca” voltada para baixo e o vértice para cima (o vértice é ponto de máximo);

O valor de c indica o ponto de intersecção da parábola com o eixo y.

Duas funções: uma com ponto de máximo e outra com ponto de mínimo

Observe que a parábola azul possui ponto de mínimo e a parábola vermelha possui ponto de máximo. Suas leis de formação são, respectivamente:

y = x² + 1

y = – x² +1

Seus respectivos valores de a são 1 e – 1.

Aproveite para conferir nossas videoaulas sobre o assunto: