Função afim

A função afim é a função com domínio e contradomínio no conjunto dos números reais, com lei de formação do tipo \(f(x)=ax+b\). A função afim é conhecida também como função polinomial do 1º grau.

O gráfico da função afim é sempre representado por uma reta, que pode ser crescente ou decrescente. Na lei de formação da função, a e b são os coeficientes da função, a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear. Se o coeficiente angular a for positivo, a reta é crescente; se a é negativo, a reta é decrescente. O coeficiente linear b nos informa o valor de y em que a reta corta o eixo y.

Leia também: Função linear — uma função afim que possui b = 0

Resumo sobre função afim

• A função afim é a função com domínio e contradomínio no conjunto dos números reais.

• Sua fórmula ou lei de formação é \(f(x)=ax+b\).

• Na lei de formação, a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear.

• O zero de uma função afim é o valor x que faz com que f(x) seja igual a 0.

• O gráfico da função afim é sempre uma reta.

• A reta pode ser crescente ou decrescente.

  • Se na lei de formação a for positivo, o gráfico da função é crescente.

  • Se na lei de formação a for negativo, o gráfico da função é decrescente.

• Na função afim, o coeficiente angular é o número real que acompanha a variável x e o coeficiente linear é o termo independente da função.

• A função afim pode ser crescente, constante e decrescente.

Fórmula da função afim

A função afim é uma função com domínio e contradomínio no conjunto dos números reais. Sua fórmula, conhecida como lei de formação, é descrita por:

\(f(x)=ax+b\)

• a → coeficiente angular.

• b → coeficiente linear.

• x → variável independente.

• f(x) → variável dependente.

Exemplos:

• f(x) = 2x – 4

• f(x) = – 3x + 1

• f(x) = 2x

• f(x) = – x – 3

Como se calcula a função afim?

Conhecendo a lei de formação da função afim, podemos calcular o valor numérico da função. Para isso, basta substituir o valor de x na função e encontrar a imagem da função para aquele determinado valor.

Exemplo:

Dada a função f(x) = 2x – 4, calcule o valor numérico da função para:

A) x = 3

B) x = - 1

Resolução:

A) Substituindo x por 3, temos que:

\(f(3)=2⋅3-4\)

\(f(3)=6-4\)

\(f(3)=2\)

Então, a imagem da função para x = 3 é 2.

B) Substituindo x por - 1, temos que:

\(f(-1)=2⋅(-1)-4\)

\(f(-1)=-2-4\)

\(f(-1)=- 6\)

Então, a imagem da função para x = - 1 é - 6.

Zero da função afim

O zero de uma função afim é o valor x que faz com que f(x) seja igual a 0. Para encontrar o valor do zero da função, basta igualar a função a zero. De modo geral, para calcular o zero da função, temos que:

\(ax+b=0\)

\(ax=-b\)

Assim, o zero da função é:

\(x=\frac{-b}a\)

Exemplo:

Encontre o zero da função f(x) = 3x – 12.

Resolução:

Calculando o zero da função, temos que:

\(3x-12=0\)

\(3x=12 \)

\(x=\frac{12}3\)

\(x=4\)

Prova real:

Se substituirmos x = 4 na função, encontraremos f(x) = 0.

\(f(4)=3⋅4-12\)

\(f(4)=12-12\)

\(f(4)=0\)

Gráfico da função afim

O gráfico de uma função afim é sempre uma reta, podendo ser crescente ou decrescente. Para fazer a representação de uma função afim no gráfico, encontramos pares ordenados (x, y) que satisfazem a lei de formação da função.

Exemplo:

Construa o gráfico da função \(f(x)=2x-1\).

Resolução:

Para fazer a representação gráfica dessa função, atribuiremos alguns valores para x e encontraremos a sua imagem y:

\(f(-2)=2⋅(-2)-1=- 4-1=- 5\)

\(f(-1)=2⋅(-1)-1=- 2-1=- 3\)

\(f(0)=2⋅0-1=0-1=- 1\)

\(f(1)=2⋅1-1=2-1=1\)

\(f(2)=2⋅2-1=4-1=3\)

Então, sabemos que os pontos A(-2, -5), B( -1, -3), C(0, - 1), D(1, 1) e E(2, 3) são pontos que pertencem ao gráfico da função. Agora, basta fazer a representação desses pontos no plano cartesiano e traçar a reta que passa por eles:

Para construir o gráfico de uma função afim, são necessários somente dois pontos. No caso, utilizamos 5, mas 2 pontos é o suficiente para fazer a representação gráfica da função.

Coeficiente angular e coeficiente linear de uma função afim

Conhecemos como coeficiente angular da função afim o número real que acompanha a variável x e como coeficiente linear da função o termo independente da função. Logo, na lei de formação, temos que:

Exemplo:

Na função f(x) = 3x – 4, o coeficiente angular a = 3 e o coeficiente linear b = - 4.

→ Coeficiente angular

Como o nome sugere, o coeficiente angular permite descobrir informações sobre o ângulo que a reta faz com o eixo horizontal. O coeficiente angular nos permite saber se a função é crescente, decrescente ou constante. Podemos dividir em 3 casos:

• Se a > 0, ou seja, se o coeficiente angular for positivo, a função é crescente.

• Se a = 0, a função é constante.

• Se a < 0, ou seja, se o coeficiente angular for negativo, a função é decrescente.

→ Coeficiente linear

O coeficiente linear é o ponto em que a reta corta o eixo y, que é o ponto (0, b).

Tipo de função afim

A função afim pode ser dividida em três casos: função afim crescente, função afim constante e função afim decrescente. Veremos cada tipo a seguir.

→ Função afim crescente

A função afim é crescente se o coeficiente angular for positivo. O comportamento crescente quer dizer que à medida que o valor de x aumenta na função, o valor de f(x) também aumenta.

→ Função afim constante

A função afim é constante quando o coeficiente angular é 0. A função é constante quando o valor de y é sempre o mesmo para todos os valores de x.

→ Função afim decrescente

A função afim é decrescente quando o seu coeficiente angular é negativo. Ser decrescente significa que à medida que o valor de x aumenta, o valor de y diminui na função.

Veja também: Função sobrejetora — a função em que o conjunto do contradomínio é igual ao conjunto imagem da função

Exercícios resolvidos sobre função afim

Questão 1

Qual é o valor do zero da função \(f(x)=2x+6\)?

A) 2

B) – 2

C) 3

D) – 3

E) 6

Resolução:

Alternativa D

Calculando o zero da função, temos que:

\(2x+6=0\)

\(2x=- 6\)

\(x=\frac{-6}2\)

\(x=-3\)

Questão 2

O valor a ser cobrado por um serviço de limpeza é dado pela função afim \(f(t)=25t+45\), em que t é o tempo gasto para executar esse serviço em horas. Se um cliente contratar esse serviço por 4 horas, então o valor pago por ele será de:

A) R$ 65,00

B) R$ 100,00

C) R$ 145,00

D) R$ 260,00

Resolução:

Alternativa C

Queremos calcular o valor de f(4), portanto:

\(f(4)=25⋅4+45\)

\(f(4)=100+45\)

\(f(4)=145\)

O valor pago por esse cliente será de R$ 145,00.