Frações algébricas

Frações algébricas são expressões munidas de pelo menos uma incógnita no denominador. Tendo em vista que incógnitas representam números reais ainda desconhecidos, é possível afirmar que as frações algébricas também representam números reais. Dessa forma, todas as operações válidas para esse conjunto numérico também são válidas para as frações algébricas, a saber: adição, subtração, multiplicação e divisão.

Quando essas operações envolvem frações algébricas, pode ser necessário apelar para outras propriedades matemáticas, como propriedades de potências, fatoração de polinômios, produtos notáveis etc.

Veja um exemplo de fração algébrica:

 4x³y²
3k²a

Simplificação de fração algébrica

A simplificação de frações algébricas faz uso de propriedades de potências e, algumas vezes, de fatoração de polinômios. A tentativa é de escrever a fração algébrica na forma mais fatorada possível e eliminar o excesso de incógnitas repetidas no numerador e denominador por meio da divisão de potências de mesma base. Observe o exemplo:

4a³(a² + 2ab + b²)
16a²(a² – b²)

Observe que os elementos presentes no numerador podem ser fatorados por dois procedimentos diferentes: o número 4 se transformará em 2² e o polinômio a² + 2ab + b², que é um trinômio quadrado perfeito, poderá ser reescrito na forma (a + b)².

Já o denominador também pode ser fatorado ao rescrever 16 como 2⁴ e a² – b², que é uma diferença de dois quadrados, como (a + b)(a – b). Substituindo essas formas fatoradas na fração algébrica dada, obteremos:

      2²a³(a + b)²       
2⁴a²(a + b)(a – b)

Agora, elimine aquilo que aparece repetido no numerador e no denominador. Para facilitar esse processo, as potências podem ser expandidas. Observe:

 2·2·a·a·a·(a + b)·(a + b) 
2·2·2·2·a·a·(a + b)(a – b)

Em azul, estão os fatores que se repetem e que serão eliminados. O resultado será o seguinte:

  a(a + b)  
2·2(a – b)

Essa é a forma simplificada da fração algébrica dada como exemplo.

Adição e subtração de fração algébrica

As duas operações são feitas da mesma maneira. Se os denominadores das frações algébricas forem iguais, basta somar/subtrair os numeradores e repetir os denominadores no resultado. Por exemplo:

4xy + 2xy = 4xy + 2xy = 6xy
k       k            k            k

Se os denominadores forem diferentes, teremos que: encontrar frações equivalentes àquelas que queremos somar/subtrair e depois somar/subtrair as frações equivalentes. O procedimento para isso pode ser resumido em alguns passos:

• Calcular o mínimo múltiplo comum dos denominadores. Como os denominadores são polinômios, o procedimento para encontrar esse MMC pode ser obtido aqui. Antes de calcular o MMC dos denominadores, pode ser necessário fatorá-los. Os processos de fatoração mais importantes podem ser encontrados aqui;

• Encontrar frações equivalentes àquelas que devem ser somadas/subtraídas;

• Para isso, o processo é o mesmo usado nas frações numéricas: dividimos o MMC pelo denominador de cada fração e multiplicamos o resultado pelo respectivo numerador. Os valores obtidos serão os numeradores das frações equivalentes;

• Somar/subtrair os numeradores exatamente como é feito para frações com denominadores iguais.

Para exemplos e mais detalhes a respeito da soma de frações numéricas, clique aqui. Para obter exemplos e mais detalhes sobre adição de frações algébricas, clique aqui.

Multiplicação de fração algébrica

A multiplicação de frações algébricas é exatamente igual à multiplicação de frações numéricas: multiplica-se numerador por numerador e denominador por denominador. A diferença é que, após a multiplicação, é importante analisar se o resultado obtido pode ser simplificado. Esse processo de simplificação é semelhante ao que discutimos no início do texto. Por exemplo:

5xy ·11xk = 5xy ·11xk = 55x²yk = 55
kx     yx        kx·yx         kx²y        

Divisão de fração algébrica

Também é feita de modo idêntico à divisão entre frações numéricas. Para tanto, multiplique a primeira fração pelo inverso da segunda. Para encontrar o inverso de uma fração, basta trocar numerador e denominador de lugar. Observe a divisão de frações no exemplo a seguir:

44x²yz : 11xyz = 44x²yz ·    kh   
   kh²        kh         kh²      11xyz

Após isso, basta realizar a multiplicação e simplificar o resultado:

44x²yz ·    kh    = 44x²yzkh = 4x
   kh²      11xyz    11xyzkh²     h