Fatorial

Conhecemos como fatorial de um número natural a multiplicação desse número por todos os seus antecessores maiores que zero. Utilizamos o fatorial de um número para resolver problemas da análise combinatória ligados ao princípio multiplicativo.

Ele aparece nas fórmulas combinação e arranjo, permutação, entre outras situações. Para calcular o fatorial de um número, basta encontrar o produto da multiplicação feita entre esse número e os seus antecessores maiores que zero. Durante a resolução de problemas, é bastante comum utilizarmos a simplificação do fatorial quando há uma fração com fatorial de um número tanto no numerador quanto no denominador.

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O que é fatorial?

O fatorial de um número natural n é representado por n! (lê-se: n fatorial), que nada mais é que a multiplicação de n por todos os seus antecessores maiores que 0.

Essa operação é bastante comum em problemas envolvendo contagem estudados na análise combinatória. A notação n! é uma maneira mais simples para a representação da multiplicação de um número pelos seus antecessores.

Cálculo do fatorial

Para encontrar a resposta do fatorial de um número, basta calcularmos o produto, veja, a seguir, alguns exemplos.

Exemplos:

• 2! = 2 · 1 = 2

• 3! = 3 · 2 · 1 = 6

• 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24

• 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

• 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720

• 7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040

Existem dois casos particulares, resolvidos por definição:

• 1! = 1

• 0! = 1

Leia também: Como é calculada a combinação com repetição?

Operações com fatorial

Para realizar as operações entre o fatorial de dois ou mais números, é necessário o cálculo do fatorial para, depois, fazer a conta em si:

Exemplos:

• Adição

5! + 3! = (5 · 4 · 3 · 2 · 1) + (3 · 2 · 1)

5! + 3! = 120 + 6

5! + 3! = 126

Na adição, não é possível somar os números antes de calcular o fatorial, ou seja, 5! + 3! ≠ 8!.

• Subtração

6! – 4! = (6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1) – (4 · 3 · 2 · 1)

6! – 4! = 720 – 24

6! – 4! = 696

Note que, assim como na adição, subtrair os números antes de calcular o fatorial seria um erro, pois 6! – 4! ≠ 2!

• Multiplicação

3! · 4! = (3 · 2 · 1) · (4 · 3 · 2 · 1)

3! · 4! = 6 · 24

3! · 4! = 144

É possível perceber que, na multiplicação, também 3! · 4! ≠ 12!

• Divisão

6! : 3! = (6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1) : (3 · 2 · 1)

6! : 3! = 720 : 6

6! : 3! = 120

Por fim, na divisão, seguimos o mesmo raciocínio — 6! : 3! ≠ 2!. De modo geral, nunca podemos realizar as operações básicas antes de calcular o fatorial.

Passo a passo para simplificação de fatorial

Sempre que existir uma divisão entre o fatorial de dois números, é possível resolver realizando a simplificação. Para isso, vamos seguir alguns passos:

• 1º passo: encontrar o maior fatorial na divisão.

• 2º passo: realizar a multiplicação do maior fatorial pelos seus antecessores até que apareça um mesmo fatorial no numerador e no denominador.

• 3º passo: fazer a simplificação e resolver o restante da operação.

Veja, na prática, como fazer a simplificação:

Exemplo 1:

Note que o maior deles está no numerador e é 7!, então, realizaremos a multiplicação pelos antecessores de 7 até chegar a 4!.

Sendo agora possível realizar a simplificação do 4!, que parece tanto no numerador quanto no denominador:

Ao simplificar, nos restará apenas o produto no numerador:

7 · 6 · 5 = 210

Exemplo 2:

Note que, nesse caso, o 10! é o maior deles e está no denominador. Então, realizaremos a multiplicação de 10! pelos seus antecessores até chegar a 8!.

Agora é possível fazer a simplificação do numerador e denominador:

Ao simplificar, restará o produto no denominador:

Fatorial na análise combinatória

Na análise combinatória, o fatorial está presente no cálculo de todas os três principais agrupamentos, são eles a permutação, a combinação e o arranjo. Entender o que é o fatorial de um número é base para a maioria dos cálculos da análise combinatória.

Veja as principais fórmulas da análise combinatória.

• Permutação simples

Conhecemos como permutação simples, de n elementos, todas as sequências possíveis que podemos formar com esses n elementos.

P_n = n!

Exemplo:

De quantas maneiras distintas 5 pessoas podem formar uma fila em linha reta?

Estamos calculando uma permutação com 5 elementos.

P₅ = 5!

P₅ = 5 · 4 · 3 · 2 · 1

P₅ = 120

• Arranjo simples

Para calcular o arranjo, também usamos o fatorial de um número. Conhecemos como arranjo simples de n elementos, tomados de k em k, todas as sequências possíveis que podemos formar com k elementos escolhidos entre os n elementos do conjunto, sendo n > k. Para calcular a quantidade de arranjos, utilizamos a fórmula:

Exemplo:

Em uma competição, foram inscritos 20 atletas. Supondo que todos são igualmente capazes, de quantas maneiras distintas o pódio com 1º, 2º e 3º lugares pode ser formado?

Dados os 20 elementos, queremos encontrar o total de sequências que podemos formar com 3 elementos. Então, esse é um arranjo de 20 elementos tomados de 3 em 3.

• Combinação simples

A combinação também é calculada utilizando fatorial. Dado um conjunto de n elementos, definimos como combinação todos os conjuntos não ordenados que podemos formar com k elementos, em que n > k.

Fórmula da combinação simples:

Exemplo:

Em uma escola, dos 8 alunos classificados para a OBMEP, 2 serão premiados por um sorteio realizado pela instituição. Os sorteados receberão uma cesta de café da manhã. De quantas maneiras distintas a dupla premiada pode ocorrer?

Estamos calculando a combinação de 8 elementos tomados de 2 em 2.

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Equação fatorial

Além das operações, podemos encontrar equações que envolvem o fatorial de um número. Para resolver equações nesse sentido, buscamos isolar a incógnita.

Exemplo 1:

x + 4 = 5!

Nesse caso mais simples, basta calcular o valor de 5! e isolar a incógnita.

x + 4 = 5 · 4 · 3 · 2 · 1

x + 4 = 120

x = 120 – 4

x = 116

Exemplo 2:

Primeiro vamos simplificar a divisão entre fatoriais:

Agora, multiplicando cruzado, temos que:

1 · n = 1 · 4

n = 4

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Exercícios resolvidos

Questão 1 - (Instituto Excelência) Assinale a alternativa CORRETA referente a fatorial:

A) O fatorial de um número n (n pertence ao conjunto dos números naturais) é sempre o produto de todos os seus antecessores, incluindo a si próprio e excluindo o zero. A representação é feita pelo número fatorial seguido do sinal de exclamação, n!.

B) O fatorial de um número n (n pertence ao conjunto dos números naturais) é sempre o produto de todos os seus antecessores, incluindo a si próprio e também incluindo o zero. A representação é feita pelo número fatorial seguido do sinal de exclamação, n!.

C) O fatorial de um número n (n pertence ao conjunto dos números naturais) é sempre o produto de todos os seus antecessores, excluindo a si próprio e também excluindo o zero. A representação é feita pelo número fatorial seguido do sinal de exclamação, n!.

D) Nenhuma das alternativas.

Resolução

Alternativa A

O fatorial de um número é o produto desse número por todos os seus antecessores maiores que 0, ou seja, excluindo o 0.

Questão 2 - (Cetro concursos) Analise as sentenças.

I. 4! + 3! = 7!

II. 4! · 3! = 12!

III. 5! + 5! = 2 · 5!

É correto o que se apresenta em:

A) I, apenas.

B) II, apenas.

C) III, apenas.

D) I, II e III.

Resolução

Alternativa C

I. Errada

Verificando:

4! + 3! = 7!

4! + 3! = 4 · 3 · 2 · 1 + 3 · 2 · 1 = 24 + 6 = 30

7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040

Então, temos que: 4! + 3! ≠ 7!

II. Errada

Verificando:

4! · 3! = 12!

4! · 3! (4 · 3 · 2 · 1) × (3 · 2 · 1) = 24 × 6 = 144

12! = 12 · 11 · 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 479.001.600

Logo, temos que: 4! · 3! ≠ 12!

III. Correta

Verificando:

5! + 5! = 2 · 5!

5! + 5! = (5 · 4 · 3 · 2 · 1) + (5 · 4 · 3 · 2 · 1) = 120 + 120 = 240

2 · 5! = 2 · (5 · 4 · 3 · 2 · 1) = 2 · 120 = 240

Então, temos que: 5! + 5! = 2 · 5!