Equações no Enem

As equações no Enem estão presentes em diversas aplicações. Isso se deve à existência de competências e habilidades na matriz de referência do Enem. Elas solicitam a modelagem de relações entre expressões algébricas e a resolução de problemas com base nesse modelo. Sendo assim, é necessário saber não apenas resolver equações de 1º e 2º grau como também entender como modelá-las com base na interpretação de dados fornecidos por textos-base.

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Resumo sobre equações no Enem

• As equações no Enem são cobradas em questões de matemática relacionadas com a competência de área 5.
• A modelagem e a resolução de equações são algumas das formas mais cobradas.
• As equações mais utilizadas são as polinomiais do 1°e 2° grau.

O que são equações?

Equações são igualdades entre expressões algébricas envolvendo uma ou mais incógnitas. Essas incógnitas são valores desconhecidos e são representadas por letras. Assim, resolver uma equação é encontrar os valores dessas incógnitas que tornam a igualdade verdadeira.

Já o grau de uma equação refere-se ao maior expoente das incógnitas da equação. Quando o expoente de maior valor é 1, a equação é dita de 1º grau, quando ele é 2, ela é dita de 2º grau, e assim por diante.

São exemplos de equações:

• x+5=12 (equação de 1° grau com uma incógnita: x);
• x+y+3=0 (equação de 1° grau com duas incógnitas: x e y);
• x2-4=0 (equação de 2° grau com uma incógnita: x).

Como as equações são cobradas no Enem?

Há um documento chamado matriz de referência do Enem, que serve para delimitar quais as competências e habilidades que a avaliação exige do estudante. Em relação às equações, essa matriz possui a seguinte competência específica:

• Competência de área 5: Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas usando representações algébricas.

Assim, segundo essa competência, espera-se que o estudante saiba como interpretar informações dadas por meio de textos ou conjuntos de dados, de modo a modelar uma equação que descreva determinada situação e resolvê-la.

Já as habilidades específicas dessa competência que se relacionam com o assunto de equações são as seguintes:

• H19: Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
   
• H21: Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.

Essas habilidades sugerem que o estudante saiba como identificar, com base nas informações dadas, qual a expressão algébrica que descreve determinada situação-problema e resolvê-la de acordo com o comando solicitado.

Portanto, para a avaliação do Enem, é necessário não apenas saber resolver equações de acordo com os métodos já existentes como também saber modelá-las segundo uma interpretação correta dos textos-base de cada questão.

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Equação do 1º grau no Enem

As equações de 1º grau no Enem aparecem, em sua maioria, de duas formas: ou a questão fornece uma igualdade de expressões algébricas de forma explícita e pede o valor de determinada incógnita da equação; ou, ainda, exige que o estudante interprete o texto-base e que ele mesmo modele e resolve a equação.

Outra possibilidade é que, em uma questão que envolve uma função do 1º grau, seja necessário que o estudante calcule o zero dessa função, portanto, ele deverá resolver uma equação do 1º grau formada pela igualdade entre a lei de formação da função e o valor zero.

→ Exemplo de questão do Enem envolvendo equação do 1º grau

(Enem 2014) Uma pessoa compra semanalmente, numa mesma loja, sempre a mesma quantidade de um produto que custa R$10,00 a unidade. Como já sabe quanto deve gastar, leva sempre R$6,00 a mais do que a quantia necessária para comprar tal quantidade, para o caso de eventuais despesas extras. Entretanto, um dia, ao chegar à loja, foi informada de que o preço daquele produto havia aumentado 20%. Devido a esse reajuste, concluiu que o dinheiro levado era a quantia exata para comprar duas unidades a menos em relação à quantidade habitualmente comprada.

A quantia que essa pessoa levava semanalmente para fazer a compra era

a) R$ 166,00.

b) R$ 156,00.

c) R$ 84,00.

d) R$ 46,00.

e) R$ 24,00.

Para resolver essa questão, deve-se, com base nos dados do texto-base, modelar a situação. Antes do aumento no preço do produto, a pessoa levava dinheiro para comprar x unidades de um produto a 10 reais cada, e restavam 6 reais; ou seja, ela levava um total de x∙10+6 reais.

Depois, o produto teve um aumento de 20% em seu valor, passando a custar:

10+20% de 10 = 12 reais

De modo que essa pessoa pode comprar agora, com o mesmo valor que levava antes, duas unidades a menos do produto, ou seja, x-2 unidades. Assim, depois do reajuste, o dinheiro que ele levava antes é equivalente a:

\(x\cdot10+6=\left(x-2\right)\cdot12\)

\(10x+6=12x-24\)

\(6+24=12x-10x\)

\(30=2x\rightarrow x=15\)

Portanto, a pessoa levava 15 unidades do produto, a 10 reais cada, mais uma quantia de 6 reais, ou seja, ela levava um total de:

\(15\cdot10+6=150+6=156\ reais\)

Equação do 2º grau no Enem

Quanto às equações de 2º grau no Enem, elas geralmente aparecem já modeladas, de modo que é necessário apenas descobrir o(s) valor(es) da incógnita que torna(m) a igualdade verdadeira por meio de métodos de resolução de equações do 2º grau.

Uma outra situação que pode aparecer similar ao caso da equação de 1º grau é que uma equação de 2º grau deve ser resolvida nos casos em que são solicitadas as raízes de uma função do 2º grau.

A seguir, uma questão do Enem que exemplifica o uso de equações do 2° grau.

→ Exemplo de questão envolvendo equação do 2º grau no Enem

(Enem 2013) A temperatura T de um forno (em graus centígrados) é reduzida por um sistema a partir do instante de seu desligamento (t=0) e varia de acordo com a expressão \(T\left(t\right)=\frac{-t^2}{4}+400\), com t em minutos. Por motivos de segurança, a trava do forno só é liberada para abertura quando o forno atinge a temperatura de 39 °C. Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o forno, para que a porta possa ser aberta?

a) 19,0

b) 19,8

c) 20,0

d) 38,0

e) 39,0

Como se deseja descobrir o tempo t em minutos, para o qual a temperatura do forno é de 39 °C, então, deve-se tomar Tt=39 e descobrir qual o valor de t que torna a seguinte expressão verdadeira:

\(39=\frac{-t^2}{4}+400\)

\(\frac{t^2}{4}=400-39\)

\(t^2=361\cdot4\)

\(t=\pm\sqrt{1444}\)

\(t=\pm38\)

Como o valor do tempo t não pode ser negativo (pois é contabilizado a partir de zero), então o valor desejado é de t=38,0.

Saiba mais: Afinal, qual é a diferença entre uma função e uma equação?

Exercícios resolvidos sobre equações no Enem

Questão 1

(Enem 2018) Uma loja vende automóveis em N parcelas iguais sem juros. No momento de contratar o financiamento, caso o cliente queira aumentar o prazo, acrescentando mais 5 parcelas, o valor de cada uma das parcelas diminui R$ 200,00, ou, se ele quiser diminuir o prazo, com 4 parcelas a menos, o valor de cada uma das parcelas sobe R$ 232,00. Considere ainda que, nas três possibilidades de pagamento, o valor do automóvel é o mesmo, todas são sem juros e não é dado desconto em nenhuma das situações.

Nessas condições, qual é a quantidade N de parcelas a serem pagas de acordo com a proposta inicial da loja?

a) 20

b) 24

c) 29

d) 40

e) 58

Resolução

Alternativa B

Para resolver essa questão, deve-se interpretar corretamente os dados do texto-base e modelar as expressões algébricas que descrevem os financiamentos. Por fim, igualando essas expressões, haverá um sistema com duas equações de 1º grau com duas incógnitas para serem determinadas.

No primeiro modelo de financiamento, são pagas N parcelas de x reais:

\(Pagamento:N\cdot x\)

No segundo modelo, são pagas N+5 parcelas de x-200 reais:

\(Pagamento:\left(N+5\right)\cdot\left(x-200\right)\)

Já no terceiro modelo de financiamento, são pagas N-4 parcelas de x+232 reais:

\(Pagamento:\left(N-4\right)\cdot\left(x+232\right)\)

Assim, há três expressões algébricas que fornecem as opções de pagamento. Igualando o primeiro modelo com o segundo, e igualando o primeiro modelo com o terceiro, obtém-se o seguinte sistema de equações de 1º grau:

\( \begin{cases} N\cdot x=\left(N+5\right)\cdot\left(x-200\right)\quad \\ N\cdot x=\left(N-4\right)\cdot\left(x+232\right) & \quad \end{cases}\)

Expandindo as multiplicações:

\( \begin{cases} Nx=Nx-200N+5x-1000\quad \\ Nx=Nx+232N-4x-928 & \quad \end{cases}\)

Cancelando os termos Nx de cada lado da igualdade, e dividindo a primeira equação por 5 e a segunda equação por 4:

\( \begin{cases} 0=-40N+x-200\quad \\ 0=58N-x-232 & \quad \end{cases}\)

Somando as duas equações:

\(0=18N-432\)

\(18N=432\rightarrow N=\frac{432}{18}\rightarrow N=24\)

Questão 2

(Enem 2016) Para evitar uma epidemia, a Secretaria de Saúde de uma cidade dedetizou todos os bairros, de modo a evitar a proliferação do mosquito da dengue. Sabe-se que o número fde infectados é dado pela função \(f\left(t\right)=-2t²+120t\) (em que t é expresso em dia e \(t=0\) é o dia anterior à primeira infecção) e que tal expressão é válida para os 60 primeiros dias da epidemia.

A Secretaria de Saúde decidiu que uma segunda dedetização deveria ser feita no dia em que o número de infectados chegasse à marca de 1600 pessoas, e uma segunda dedetização precisou acontecer.

A segunda dedetização começou no:

a) 19° dia

b) 20° dia

c) 29° dia

d) 30° dia

e) 60° dia

Resolução

Alternativa B

Essa questão modela um problema por meio de uma função do 2º grau. No entanto, ao atribuir, conforme solicitado pelo texto-base, o valor de \(f\left(t\right)=1600\), o problema requer a resolução de uma equação do 2º grau:

\(1600=-2t^2+120t\)

\(2t^2-120t+1600=0\)

Dividindo por 2 toda a equação:

\(t^2-60t+800=0\)

Resolvendo essa equação de 2º grau pelo método da fórmula de Bhaskara:

\(x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)

\(x_{1,2}=\frac{-\left(-60\right)\pm\sqrt{{60}^2-4\cdot1\bullet800}}{2}\)

\(x_{1,2}=\frac{60\pm\sqrt{3600-3200}}{2}\)

\(x_{1,2}=\frac{60\pm\sqrt{400}}{2}\)

\(x_{1,2}=\frac{60\pm20}{2}\)

\(x_1=\frac{60+20}{2};x_2=\frac{60-20}{2}\)

Dessa forma, os valores de x que fazem a equação se tornar verdadeira são \(x_1=40\) e \(x_2=20\).

Como a segunda dedetização deveria ser feita assim que o número de infectados chegasse a 1600, então deve-se considerar, entre os dois dias encontrados, que isso ocorreu no primeiro deles, ou seja, \(x=20\).

Fontes

INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA (INEP), 2019. Matriz de referência Enem. Disponível em: https://download.inep.gov.br/download/enem/matriz_referencia.pdf.

LEZZI, Gelson. Fundamentos de matemática elementar, 6: complexos, polinômios, equações. 8. ed. São Paulo: Atual, 2013.