Equação modular

Equação modular é aquela que possui pelo menos uma incógnita dentro do módulo. Para representar o módulo de um número, escrevemos esse número n na forma | n |. O módulo de um número real é conhecido também como valor absoluto e representa a distância a que um número se encontra de zero quando representado em uma reta. Sendo assim, o seu valor é sempre positivo.

Para resolver a equação modular, é necessário analisar os dois casos possíveis para o módulo: quando o valor no módulo é negativo e quando o valor no módulo é positivo. Logo, uma equação modular pode ter mais de uma solução. Para resolver esse tipo de equação, é fundamental o domínio das propriedades do módulo.

Saiba mais: O que é inequação modular?

Resumo sobre equação modular

• Equação modular é toda equação que possui uma ou mais variáveis dentro de um módulo.

• O módulo de um número também é conhecido como valor absoluto e é sempre um número positivo.

• Dado um número real n, sabemos que:

Videoaula sobre equações modulares

O que é uma equação modular?

A equação modular é qualquer equação que possui incógnita dentro do módulo. Veja alguns exemplos a seguir:

• \(3x–4∨1\)

• \(x^2+5x–6∨0\)

• \(2x\vee–5=3x\)

Para aprender como resolver uma equação modular, é importante, de início, compreender o que é o módulo de um número real.

O que é módulo de um número real?

Conhecemos como módulo de um número real ou valor absoluto a distância a que um número se encontra de zero quando representado em uma reta. Essa distância é sempre positiva, sendo assim, o módulo é sempre um número positivo.

Exemplos:

• \(3\vee3\)

• \(\left|-3\right|=-\left(-3\right)=3\)

• \(\left|\sqrt5\right|=\sqrt5\)

• \(\left|-\sqrt3\right|=\sqrt3\)

Leia também: Equação exponencial — a equação que possui incógnitas no expoente

Como resolver uma equação modular?

Para encontrar o conjunto de soluções de uma equação modular, aplicamos na equação a definição de módulo, ou seja, analisamos quando a expressão dentro do módulo é maior que zero e quando a expressão dentro do módulo é menor que zero.

→ Exemplos de resolução de uma equação modular

• Exemplo 1:

Encontre o conjunto de soluções da equação:

\(x\vee3\)

Resolução:

Para eliminar o módulo, vamos analisar os dois casos possíveis:

Primeiro caso

Se:

\(x\geq0\)

Então:

\(\left|x\right|=x\)

Logo, temos que:

\(x =3\)

Segundo caso

Se:

\(x<0\)

Então:

\(\left|x\right|=-x\)

Logo, temos que:

\(-x=3\)\(\rightarrow\)\(x=-3\)

As soluções são, portanto, \(x=3\) ou \(x=-3\).

• Exemplo 2:

Encontre o conjunto de soluções da equação:

\(2x–6∨4\)

Resolução:

Primeiro caso

Se:

\(2x-6\geq0\)

Então:

\(\left|2x-6\right|=2x-6\),

Logo, temos que:

\(2x-6=4\)

Agora, basta utilizarmos as técnicas de resolução de equação:

\(2x=4+6\)

\(2x=10\)

\(x=\frac{10}{2}\)

\(x=5\)

Segundo caso

Se:

\(2x-6<0\)

Então:

\(\left|2x-6\right|=-\left(2x-6\right)\)

Logo, temos que:

\(-\left(2x-6\right)=4\cdot\left(-1\right)\)

\(2x-6=-4\)

\(2x=-4+6\)

\(2x=2\)

\(x=\frac{2}{2}\)

\(x=1\)

As soluções dessa equação modular são, portanto, \(x=1\) ou \(x=5\).

Veja também: Como resolver uma equação do primeiro grau?

Exercícios resolvidos sobre equação modular

Questão 1

A soma das soluções da equação |2x – 1| = x + 5 é:

A) 7/6

B) – 4/3

C) 6

D) 14/3

E) – 8/3

Resolução:

Alternativa D

Analisemos cada um dos casos.

Primeiro caso

Se:

\(\left|2x-1\right|\geq0\)

Então:

\(\left|2x-1\right|=2x-1\)

Logo, temos que:

\(2x–1=x+5\)

\(2x-x=5+1\)

\(x=6\)

Segundo caso

Se:

\(\left|2x-1\right|<0\)

Então:

\(\left|2x-1\right|=-\left(2x-1\right)\)

\(-\left(2x-1\right)=x+5\)

\(-2x+1=x+5\)

\(-2x-x=5-1\)

\(-3x=4\)

\(x=\frac{-4}{3}\)

Logo, temos que:

\(\frac{-4}{3}+6=\frac{-4+18}{3}=\frac{14}{3}\)

Questão 2

(UFJF) O número de soluções negativas da equação modular |5x – 6| = x² é:

A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

Resolução:

Alternativa B

Há duas possibilidades:

\(5x–6=x2\) ou \(5x–6=-x2\)

Primeiro caso

\(5x-6=x^2\)

\(-x^2+5x-6=0\)

Resolvendo a equação do 2º grau, temos:

a = – 1, b = 5 c = – 6

\(\mathrm{\Delta}=b^2-4ac\)

\(\mathrm{\Delta}=5^2-4\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-6\right)\)

\(\mathrm{\Delta}=25-24\)

\(\mathrm{\Delta}=1\)

\(x=\frac{-5\pm\sqrt1}{2\cdot\left(-1\right)}\)

\(x=\frac{-5\pm1}{-2}\)

\(x_1=\frac{-5+1}{-2}\)

\(x_1=\frac{-4}{-2}\)

\(x_1=2\)

\(x_2=\frac{-5-1}{-2}\)

\(x_2=\frac{-6}{-2}\)

\(x_2=3\)

Segundo caso

\(5x–6=-x2\)

\(x^2+5x-6=0\)

Resolvendo a equação do 2º grau, temos:

a = 1, b = 5 e c = – 6

\(\mathrm{\Delta}=b^2-4ac\)

\(\mathrm{\Delta}=5^2-4\cdot1\cdot\left(-6\right)\)

\(\mathrm{\Delta}=25+24\)

\(\mathrm{\Delta}=49\)

Assim:

\(x=\frac{-5\pm\sqrt{49}}{2\cdot1}\)

\(x=\frac{-5\pm7}{2}\)

\(x_1=\frac{-5+7}{2}\)

\(x_1=\frac{2}{2}\)

\(x_2=\frac{-5-7}{2}\)

\(x_2=\frac{-12}{2}\)

\(x_2=-6\)

Analisando as soluções, podemos perceber que a única negativa é x = – 6, logo há 1 solução negativa.