As equações na forma ax + by + c = 0 são expressões representativas de retas do plano. Os coeficientes a, b e c são números reais constantes, considerando a e b valores diferentes de zero. A essa representação matemática damos o nome de equação geral da reta.
Podemos construir a equação geral da reta utilizando duas maneiras:
1ª – através da determinação do coeficiente angular da reta e utilização de uma forma geral dada por: y – y1 = m (x – x1).
2ª – através de uma matriz quadrada formada pelos pontos pertencentes à reta fornecida.
1ª forma
Vamos determinar a equação da reta s que passa pelos pontos A(–1, 6) e B(2, –3).
Coeficiente angular da reta
m = (y2 – y1) / (x2 – x1)
m = –3 – 6 / 2 – (–1)
m = –9 / 3
m = –3
y – y1 = m (x – x1).
y – 6 = –3 (x + 1)
y – 6 = –3x – 3
y – 6 + 3x + 3 = 0
y + 3x – 3 = 0
3x + y – 3 = 0
2ª forma
Vamos considerar o ponto genérico P(x, y), pertencente à reta s que passa pelos pontos A(–1, 6) e B(2, –3). Observe a matriz construída com as coordenadas oferecidas:
Diagonal principal
x * (–6) * 1 = 6x
y * 1 * 2 = 2y
1 * (–1) * (–3) = 3
Diagonal secundária
1* 6 * 2 = 12
x * 1 * (–3) = –3x
y * (–1) * 1 = –y
s: 6x + 2y + 3 – (12 – 3x – y) = 0
s: 6x + 2y + 3 – 12 + 3x + y = 0
s: 9x + 3y – 9 = 0 (dividindo a equação por 3)
s: 3x + y – 3 = 0
Os métodos apresentados podem ser utilizados de acordo com os dados fornecidos pela situação. Os dois fornecem com exatidão a equação geral de uma reta.