Equações biquadradas

Equações biquadradas são equações polinomiais do quarto grau que possuem uma forma geral específica. Seu estudo é importante, pois, por meio de uma mudança de variável, é possível transformá-las em equações do segundo grau, que, por sua vez, possuem muitos métodos de resolução. Por fim, desfazendo essa mudança de variável, encontra-se quais são as raízes reais das equações biquadradas.

Leia também: O que são as equações logarítmicas?

Resumos sobre equações biquadradas

• Equações biquadradas são uma classe de equações de quarto grau.
• Elas possuem a fórmula geral:

\(ax^4+bx^2+c=0\)

• É possível transformá-las em equações de segundo grau por meio de uma mudança de variável.
• Após resolver a equação do segundo grau e desfazendo a mudança, encontra-se as raízes da equação biquadrada.

Videoaula sobre equações biquadradas

O que são equações biquadradas?

Equações biquadradas são uma classe de equações polinomiais do quarto grau. Elas geralmente são representadas da seguinte forma:

\(ax^4+bx^2+c=0\)

Nelas, a,b e c são números reais e obrigatoriamente o coeficiente a≠0. Essa classe de equações é importante, pois é possível realizar a mudança de variável \(y=x^2\), transformando-a em uma equação do segundo grau, facilitando o processo de obtenção de suas raízes.

Diferença entre equação biquadrada e equação do 4° grau

Uma equação biquadrada é uma equação polinomial do quarto grau, porém nem toda equação do quarto grau é uma equação biquadrada. Para uma equação do quarto grau ser classificada dessa forma, é necessário que os coeficientes de seus termos x³ e x sejam nulos, existindo assim uma maneira de realizar a troca de variáveis \(y=x^2, \), transformando-a em uma equação do segundo grau.

• Exemplo:

Verifique se a equação \(x^4+7x^3+x^2+1=0\) é biquadrada.

Resolução:

Perceba que o coeficiente que acompanha o termo x³ é diferente de zero (nesse caso, o coeficiente é o 7). Portanto, essa equação é do quarto grau, mas não é uma equação biquadrada.

Como resolver equações biquadradas?

Resolver uma equação biquadrada é determinar quais são as raízes dessa equação, ou seja, quais são os valores de x que satisfazem a seguinte igualdade:

\(ax^4+bx^2+c=0\)

No entanto, uma equação biquadrada pode ser reescrita como uma equação polinomial do segundo grau por meio da mudança de variável \(y=x^2\), ou seja:

\(ax^4+bx^2+c=0\rightarrow a\)

\(\rightarrow ay^2+by+c=0\)

Com base nessa transformação, é possível determinar quais são as raízes da equação de segundo grau: \(ay^2+by+c=0\). Depois, basta desfazer a mudança de variável e, assim, encontrar quais são as raízes da equação de quarto grau original.

• Exemplo 1:

Encontre as raízes da equação \(x^4-5x^2+4=0\).

Resolução:

Primeiramente, perceba que essa é uma equação biquadrada, pois, fazendo a mudança de variável \(y=x^2\), ela pode ser convertida na seguinte equação do segundo grau:

\(y^2-5y+4=0\)

Resolvendo essa equação do segundo grau, descobre-se que suas raízes são \(y_1=1\) e \(y_2=4\).

Desfazendo a mudança de variável, é possível descobrir quais são as raízes da equação biquadrada original. Assim:

\(y=x^2\rightarrow x=\pm\sqrt y\)

Portanto, as raízes da equação biquadrada são dadas por:

\(x_{1,2}=\pm\sqrt{y_1}\rightarrow x_{1,2}=\pm1 \)

\(x_{3,4}=\pm\sqrt{y_2}\rightarrow x_{3,4}=\pm2 \)

Dessa forma, as raízes da equação biquadrada são: \(x_1=1,x_2=-1,x_3=2\) e \(x_4=-2\).

• Exemplo 2:

Encontre as raízes da equação \(x^4-18x^2+81=0\).

Resolução:

Novamente, o primeiro passo a se fazer é perceber que essa é uma equação biquadrada, pois, fazendo a mudança de variável y = x², ela pode ser transformada na seguinte equação do segundo grau:

\(y^2-18y+81=0\)

Utilizando os métodos de resolução de equação do segundo grau, descobre-se que as raízes dessa equação são \(y_1=y_2=9\), ou seja, ela possui duas raízes reais e iguais.

Desfazendo a mudança de variável, é possível notar que as raízes da equação biquadrada serão dadas por:

\(x_{1,2}=\pm\sqrt{y_1}\rightarrow x_{1,2}=\pm3 \)

\(x_{3,4}=\pm\sqrt{y_2}\rightarrow x_{3,4}=\pm3 \)

Logo, as raízes da equação biquadrada são: \(x_1=x_3=3\) e \(x_2=x_4=-3\).

Veja também: O que são inequações do segundo grau?

Exercícios resolvidos sobre equações biquadradas

Questão 1

Observe atentamente as afirmações a seguir:

I. A equação x⁴ = 0 é uma equação biquadrada.

II. Uma equação do quarto grau também é chamada de equação biquadrada.

III. Uma equação biquadrada possui no máximo duas raízes.

São verdadeiras apenas as afirmações:

A) Apenas a I.

B) I e II.

C) I e III.

D) II e III.

Resolução:

Alternativa A

I. A equação x⁴ = 0 é uma equação biquadrada. (verdadeira)

A equação x⁴ = 0 possui apenas o coeficiente a = 1, que acompanha o termo x⁴. Além disso, considerando y = x², a equação biquadrada pode ser reescrita como y² = 0.

II. Uma equação do quarto grau também é chamada de equação biquadrada. (falsa)

Uma equação biquadrada é uma equação do quarto grau, mas o contrário nem sempre é verdade.

III. Uma equação biquadrada possui no máximo duas raízes. (falsa)

Uma equação biquadrada é uma classe de equações polinomiais de quarto grau. Assim, como o grau de um polinômio determina o número máximo de raízes dele, uma equação biquadrada possui no máximo quatro raízes e não apenas duas.

Questão 2

Assinale a alternativa que apresenta todas as raízes da equação biquadrada \(x^4-3x^2+2=0\).

A) \(x_1=x_2=1\) e \(x_3=x_4=2\)

B) \(x_1=x_2-1\)e \(x_3=x_4-2\)

C) \(x_1=1,x_2=-1,x_3=2\) e \(x_4=-2\)

D) \(x_1=1,x_2=-1,x_3=\sqrt2\) e \(x_4=-\sqrt2\)

Resolução:

Alternativa D

Fazendo a mudança de variável \(y=x^2\), essa equação pode ser reescrita como a seguinte equação do segundo grau:

\(y^2-3y+2=0\)

Nela, as raízes são \(y_1=1\) e \(y_2=2\) .

Desfazendo a mudança de variável, é possível descobrir quais são as raízes da equação biquadrada original. Assim:

\(x_{1,2}=\pm\sqrt{y_1}\rightarrow x_{1,2}=\pm1 \)

\(x_{3,4}=\pm\sqrt{y_2}\rightarrow x_{3,4}=\pm\sqrt2 \)

Portanto, as raízes da equação biquadrada são: \(x_1=1,x_2=-1,x_3=\sqrt2\) e \(x_4=-\sqrt2\).

Fontes

GOMES, Francisco Magalhães. Pré-cálculo: operações, equações, funções e sequências. 1. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2018.

SAMPAIO, Fausto Arnaud. Trilhas da matemática, 9º ano: ensino fundamental, anos finais. 1. ed. São Paulo: Saraiva, 2018.