Binômio de Newton é uma técnica, desenvolvida por Isaac Newton, utilizada para calcular-se potências naturais de polinômios com dois termos.
O binômio de Newton foi desenvolvido pelo físico e matemático Isaac Newton, que fez grandes contribuições para o desenvolvimento das ciências. Chamamos de binômio de Newton o cálculo de um polinômio com dois termos elevado a um número natural qualquer.
Durante a resolução de problemas que envolvem polinômios, percebeu-se que existia uma regularidade quando se calculava a potência de um binômio. Foi então que Newton desenvolveu um método para encontrar a solução de um binômio elevado a um expoente natural. Para essa solução, recorre-se ao triângulo de Pascal. É possível também encontrar, com base na fórmula do termo geral de um binômio, coeficientes e termos de forma individual, sem necessariamente calcular-se todo o binômio.
Leia também: Multiplicação de polinômios – como resolver?
Fórmula do binômio de Newton
Na matemática, um polinômio com dois termos é conhecido também como binômio. Em problemas da astronomia, entre outras aplicações, nas disciplinas de física, química e na própria matemática, é bastante comum deparar-se com uma potência de um binômio. Acontece que, para calcular-se uma potência de um binômio elevado a um expoente natural, quanto maior for o expoente, mais difícil será encontrar a potência. O binômio de Newton, então, é uma construção que busca resolver as seguintes potências:
- (a + b)0 = 1 → todo número elevado a zero é igual a 1.
- (a + b)1= a + b → todo número elevado a 1 é igual a ele mesmo.
- (a + b)² = (a + b ) (a + b) = a² + 2ab + b²
- (a + b)³ = (a + b) (a + b) (a + b) = (a+b) (a² + 2ab + b²) = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Note que quanto maior for o expoente do binômio, mais difícil será a tarefa de calcular-se a potência. Acontece que Newton desenvolveu um método mais prático para encontrar os binômios, pela fórmula:
Exemplo:
Calcule (a + b)5
1º passo: vamos substituir na fórmula o valor de n = 5.
2º passo: vamos calcular os coeficientes que são combinações.
Nesse segundo passo, é necessário lembrar como se calcula uma combinação de dois números.
A fórmula para calcular-se a combinação é:
Então calcularemos cada umas das combinações:
3º passo: substituir as combinações pelos resultados encontrados:
(a + b)5 = 1a5 + 5a4b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab4 + 1b5
Veja também: Como calcular o MMC de polinômios?
Triângulo de Pascal
Na fórmula do binômio de Newton, se conhecermos o triângulo de Pascal, não será necessário realizarmos o cálculo das combinações. Para isso basta construir do triângulo de Pascal. Acontece que os coeficientes do binômio de Newton estão diretamente relacionados com as linhas do triângulo de Pascal. O triângulo é construído com base nas combinações, conforme a figura seguinte:
Começando sempre pela linha zero, podemos construir quantas linhas forem necessárias para encontrarmos as combinações que queremos. Acontece que, a fim de encontrar os resultados, existe um método prático para a construção do triângulo de Pascal, o que significa que teremos os resultados das combinações sem necessariamente utilizarmos a fórmula de combinação.
Para substituir as combinações por números no triângulo, vamos lembrar que a combinação de um número com zero é sempre 1 e que também a combinação de um número com ele mesmo é sempre 1, logo, a primeira coluna é sempre igual a 1 e o último termo da linha é sempre igual a 1 também.
1
1 1
1 x1 1
1 x2 x3 1
1 x4 x5 x6 1
1 x7 x8 x9 x10 1
1 x11 x12 x13 x14 x15 1
Aqui vamos construir até a linha 7, mas o método de construção para as demais linhas continua o mesmo.
Agora vamos encontrar os termos centrais, começando pelo x1. Para encontrarmos o falo de x1, faremos a soma do termo que está acima dele na mesma coluna com o termo que está acima dele na coluna anterior, assim:
1
1 1
1 x1 1
1 x2 x3 1
1 x4 x5 x6 1
1 x7 x8 x9 x10 1
1 x11 x12 x13 x14 x15 1
Então temos que:
x1 = 1 + 1 = 2
1
1 1
1 2 1
1 x2 x3 1
1 x4 x5 x6 1
1 x7 x8 x9 x10 1
1 x11 x12 x13 x14 x15 1
Usando o mesmo raciocínio, vamos encontrar x2 e x3.
1
1 1
1 2 1
1 x2 x3 1
1 x4 x5 x6 1
1 x7 x8 x9 x10 1
1 x11 x12 x13 x14 x15 1
Então temos que:
x2 = 1 + 2 = 3
x3 = 2 + 1 = 3
Substituindo pelos valores encontrados na linha 3, usaremos o mesmo raciocínio para encontrar os termos da linha 3, x4, x5 e x6.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 x4 x5 x6 1
1 x7 x8 x9 x10 1
1 x11 x12 x13 x14 x15 1
x4 = 1 + 3 = 4
x5 = 3 + 3 = 6
x6 = 3 + 1 = 4
Realizando as substituições na linha 4, temos que:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 x7 x8 x9 x10 1
1 x11 x12 x13 x14 x15 1
Repetindo o processo para as demais linhas, é possível completá-las:
linha 0: 1
linha 1: 1 1
linha 2: 1 2 1
linha 3: 1 3 3 1
linha 4: 1 4 6 4 1
linha 5: 1 5 10 10 5 1
linha 6: 1 6 15 20 15 6 1
Relacionando-os com o binômio de Newton, note que os valores encontrados para a linha 5 são os mesmos encontrados quando calculamos as combinações no exemplo (a + b)5.
Acesse também: Fatorial – multiplicação de números naturais consecutivos
Termo geral do binômio de Newton
A fórmula do termo geral permite que calculemos um termo do binômio de Newton sem a necessidade de desenvolvê-lo totalmente. É possível identificar qualquer um dos termos de um binômio pela fórmula:
a: primeiro termo
b: segundo termo
n: expoente
p + 1: termo procurado
Exemplo:
Encontre o 10º termo do binômio (x + 2)¹¹.
Dados:
n = 11
a = x
b = 2
p + 1 = 10 → p = 9
Substituindo na fórmula, temos que:
Agora calculando a combinação:
Então temos que:
Exercícios resolvidos
Questão 1 - O coeficiente de a5 no polinômio (a + 4)7 é:
A) 21
B) 16
C) 336
D) 112
E) 121
Resolução
Alternativa C.
Queremos encontrar um termo em específico na resolução do binômio, então para isso precisamos saber o valor de p.
Sabemos que o primeiro termo nesse caso é o a, então n – p = 5. Como n = 7, então p = 2, e sabemos que b = 4. Substituindo esses dados na fórmula, temos que:
Questão 2 - Dado o binômio (x + y)6, a soma dos seus coeficientes é igual a:
A) 24
B) 32
C) 44
D) 52
E) 64
Resolução
Alternativa E.
Construindo o triângulo de Pascal, a sua sexta linha é igual a:
1 6 15 20 15 6 1
Então a soma 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64