Arranjo com repetição

Arranjo com repetição, ou arranjo completo, são todos os agrupamentos ordenados que podem ser formados com p elementos de um conjunto com n elementos, sendo que um mesmo elemento pode se repetir entre os p elementos.

O arranjo com repetição é um entre os vários tipos de agrupamentos estudados na análise combinatória, área da matemática que desenvolve técnicas para realizar contagens e encontrar o número de agrupamentos possíveis em determinadas situações, como a criação de senhas, de número de série de um produto, de placas veiculares, entre outras aplicações.

Para calcular o arranjo com repetição (AR) de n elementos tomados de p em p, utilizamos a fórmula:

AR_n,_p = n^p

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Resumo sobre arranjo com repetição

• O arranjo com repetição é um tipo de agrupamento da análise combinatória.

• O arranjo com repetição são os agrupamentos ordenados com p elementos entre n elementos de um conjunto, permitindo repetições.

• Para calcular o arranjo com repetição, utilizamos a fórmula AR_n,_k = n^k.

O que é um arranjo com repetição?

Conhecemos como arranjo com repetição todos os agrupamentos ordenados que podemos formar com p elementos entre os n elementos do conjunto.

Exemplo:

Quais agrupamentos ordenados podemos formar com duas letras entre as letras A, B, C, admitindo repetição?

Resolução:

Nesse caso, temos um arranjo com repetição, então, os casos possíveis são:

(A, A); (B, B); (C, C); (A, B); (B, A); (A, C); (C, A); (B, C); (C, B).

Dessa forma, há 9 arranjos com repetição possíveis.

Qual a fórmula do arranjo com repetição?

Em problemas envolvendo análise combinatória, é bastante comum que o interesse seja calcular a quantidade de agrupamentos possíveis em vez de listá-los, como foi feito no exemplo anterior. Para calcular de forma direta, a quantidade de arranjos com repetição que podemos fazer escolhendo p elementos de um conjunto com n elementos é dada por:

• AR → arranjo com repetição ou arranjo completo;

• n → quantidade de elementos no conjunto;

• p → quantidade de elementos que serão escolhidos.

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Como calcular o número de arranjos com repetição

Vejamos, a seguir, como aplicar a fórmula para encontrar a quantidade de arranjos com repetição que podemos formar em determinadas situações.

Exemplo:

Em um banco, a senha do cartão é composta por 4 números, que podem ser repetidos ou não, então, qual é a quantidade de senhas possíveis para esse cartão?

Resolução:

Sabemos que a senha é uma sequência de 4 algarismos e que a ordem é importante, logo, esse problema se trata de um arranjo com repetição.

Existem 10 algarismos de 0 até 9, então, n = 10, e serão escolhidos 4 deles, então, p = 4. Dessa forma, temos que:

AR_10,4 = 10⁴ = 10.000

Então, há 10 mil senhas distintas possíveis.

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Exercícios resolvidos sobre arranjo com repetição

Questão 1

As novas placas de automóveis do Mercosul são compostas por 4 letras, todas maiúsculas, e 3 algarismos, então, o número de placas possíveis nesse sistema pode ser calculado por:

A) 26³
B) 10⁴
C) 26⁴ · 10
D) 10³ · 26⁴
E) 10⁴ · 26³

Resolução:

Alternativa D

Estamos diante de dois arranjos com repetições, pois temos que escolher as 4 letras e também os 3 algarismos. Vale lembrar que placas admitem repetição e que a ordem é importante, então, para calcular o número de letras, temos que:

AR_26,4 = 26⁴

Para calcular os algarismos:

AR_10,3 = 10³

Assim, o número de arranjos possíveis é calculado pelo produto entre os dois arranjos com repetição:

10³ · 26⁴

Questão 2

Qual é a quantidade de números distintos, compostos por exatamente 3 algarismos, que podemos formar com os números 1, 2, 3, 4, 5?

A) 15
B) 27
C) 60
D) 75
E) 125

Resolução:

Alternativa E

A quantidade de números que podemos formar pode ser calculada por um arranjo com repetição, pois a ordem é importante e também podemos repetir os algarismos.

Então, temos que: n = 5 e p = 3.

AR_5,3 = 5³ = 125