Argumento de um número complexo

O argumento de um número complexo é o ângulo θ formado pelo eixo da parte real do número complexo e o segmento que liga o número complexo até a origem. Utilizamos o plano de Argand-Gauss para representar números complexos, o número complexo z = x + yi é representado pelo ponto (x, y).

Para encontrar o valor do argumento de um número complexo, denotado por arg(z), utilizamos as razões trigonométricas para calcular o seno do ângulo θ e o cosseno do ângulo θ, conhecendo o valor do seno e do cosseno. Então, consultando a tabela trigonométrica, é possível encontrar o valor do ângulo, ou seja, o valor de θ.

Leia também: Como calcular as potências de i?

O que é o argumento de um número complexo?

Argumento é o ângulo θ.

Com a representação de um número complexo no plano de Argand-Gauss, conhecido também como plano complexo, foi possível desenvolver conceitos importantes para os números complexos com base na sua representação geométrica. Com a representação de um número complexo da forma algébrica z = x + yi, podemos representá-lo pelo ponto Z(x, y) no plano complexo. Ao representar esse ponto no plano, podemos traçar o segmento OZ, ou seja, o segmento de reta que liga a origem do plano complexo ao ponto Z.

Esse segmento OZ forma um ângulo com o eixo da parte real, ou seja, o eixo horizontal. Esse ângulo é conhecido como argumento do número complexo z, geralmente representado por arg(z). Para encontrar o argumento do número complexo, vamos recorrer às razões trigonométricas.

Para conseguir calcular o valor do ângulo θ, antes, precisamos encontrar o valor do módulo desse número complexo, representado na imagem por |z|.

Módulo de um número complexo

No estudo do conjunto dos números reais, o conceito de módulo está ligado à distância que o número real está do zero. Para estender esse conceito para os números complexos, é importante lembrar que, geometricamente, o número completo é um ponto no plano complexo, logo, o módulo de um número complexo é a distância que esse ponto está da origem do eixo. Note na imagem anterior que o módulo |z| é a hipotenusa do triângulo retângulo, então, ele pode ser calculado utilizando o teorema de Pitágoras:

|z|² = x² + y²

Exemplo:

Encontre o módulo do número complexo 5 – 12i.

|z|² = 5² + (-12)²

|z|² = 25 + 144

|z|² = 169

|z| = √169

|z| = 13

Passo a passo para encontrar o argumento de um ângulo

Para encontrar o argumento de um número complexo, temos que:

arg(z) = θ

Aplicando as razões trigonométricas para encontrar o valor do ângulo θ, vamos recorrer às razões trigonométricas seno e cosseno. Temos que:

O valor do ângulo pode ser calculado seguindo alguns passos:

  • 1º passo: Encontrar o módulo de z.
  • 2º passo: Calcular o seno e o cosseno.
  • 3º passo: Identificar o valor do argumento com base nos valores de seno e cosseno encontrados.

Exemplo:

Encontre o argumento do número complexo 1 + √3z.

  • 1º passo: Calcular |z|.

|z|² = 1² + √3²

|z|² = 1 + 3

|z|² = 4

|z| = √4

|z| = 2

  • 2º passo: Calcular o seno e o cosseno de θ.

Como o valor de x e y é positivo, então, o ponto está no primeiro quadrante. Consultando a tabela trigonométrica, o valor do ângulo que possui os valores de cosseno e de seno encontrados é igual a:

Veja também: Operações com números complexos na forma algébrica 

Exercícios resolvidos

Questão 1 - O valor do argumento do número complexo z = 1 – i é:

A) 45º

B) 135º

C) 235º

D) 315º

E) 350º

Resolução

Alternativa D

1º passo: Calcular o |z|.

|z|² = 1² + (-1)²

|z|² = 1 + 1

|z|² = 2

|z| = √2

2º passo: Calcular o cosseno de θ.

Calcular também o seno de θ:

O ângulo que possui os valores do seno e do cosseno encontrados é um ângulo do 4º quadrante, pois x é positivo e y é negativo. Note, pelos valores de seno e cosseno, que esse ângulo é congruente ao ângulo de 45º no quarto quadrante θ: 360 – 45 = 315º.

Questão 2 - A forma algébrica do número complexo z, sabendo que arg(z) = 120º e |z| = 2√3, é:

A) z = – 3 + √3i

B) z = 3 + √3i

C) z = √3 + 3i

D) z = √3 – 3i

E) z = – √3 + 3i

Resolução

Alternativa E

Sabemos que 120º é um ângulo do 2º quadrante congruente a 60º. Pelo cosseno e o seno, temos que:

Então, o número complexo é z = – √3 + 3i.

Por: Raul Rodrigues de Oliveira

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