A área de uma figura plana é a região que ela ocupa. No caso das formas geométricas, ao conhecer suas características, podemos construir expressões para calcular suas áreas.
A área de uma figura plana é a medida de sua superfície, da região que ela ocupa no plano. As áreas mais estudadas são das formas geométricas planas, como o triângulo, o quadrado, o retângulo, o losango, o trapézio e o círculo.
A partir das características de cada uma dessas figuras, podemos determinar fórmulas para calcular suas áreas.
Leia também: Geometria plana — o estudo matemático das figuras bidimensionais
Quais são as principais figuras planas?
As principais figuras planas são as formas geométricas planas. Neste texto vamos conhecer um pouco mais sobre seis dessas figuras:
Um detalhe importante é que, na natureza, nenhuma figura ou forma é totalmente plana: sempre haverá um pouco de espessura. No entanto, ao estudar a área de objetos reais, consideramos somente a superfície, ou seja, a região plana.
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Triângulo
O triângulo é uma forma geométrica plana com três lados e três ângulos.
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Quadrado
O quadrado é uma forma geométrica plana com quatro lados congruentes (ou seja, com a mesma medida) e quatro ângulos retos.
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Retângulo
O retângulo é uma forma geométrica plana com quatro lados e quatro ângulos retos, sendo os lados opostos paralelos e de mesma medida.
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Losango
O losango é uma forma geométrica plana com quatro lados de mesma medida e quatro ângulos.
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Trapézio
O trapézio é uma forma geométrica plana com quatro lados e quatro ângulos, sendo dois dos lados paralelos.
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Círculo
O círculo é uma forma geométrica plana definida pela região do plano limitada por uma circunferência.
Quais as fórmulas da área de figuras planas?
Vejamos algumas das fórmulas mais comuns para calcular as áreas de figuras planas. Ao final do texto você pode conferir outros artigos que analisam cada figura e fórmula em detalhes.
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Área do triângulo
A área de um triângulo é dada pela metade do produto entre as medidas da base e da altura. Lembre-se que a base é a medida de um dos lados e a altura é a distância entre a base e o vértice oposto.
Se b é a medida da base e h é a medida da altura, então
\(A_{\mathrm{triângulo}}=\frac{b.h}{2}\)
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Área do quadrado
A área de um quadrado é dada pelo produto entre seus lados. Como os lados de um quadrado são congruentes, temos que, se o lado mede l , então
\(A_{quadrado}=l^2\)
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Área do retângulo
A área de um retângulo é dada pelo produto entre lados adjacentes. Considerando um dos lados como base b e a distância entre este lado e o oposto como a altura h , temos que
\(A_{retângulo}=b.h\)
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Área do losango
A área de um losango é dada pela metade do produto entre as medidas da diagonal maior e a diagonal menor. Considerando D a medida da diagonal maior e d a medida da diagonal menor, temos que
\(A_{\mathrm{losango}}=\frac{D.d}{2}\)
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Área do trapézio
A área de um trapézio é dada pela metade do produto entre a altura e a soma das bases. Lembre-se que os lados paralelos opostos são as bases e a distância entre esses lados é a altura.
Se B é a medida da base maior, b é a medida da base menor e h é a medida da altura, então
\(A_{trapézio}=\frac{(B+b)}2\cdot{h}\)
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Área do círculo
A área de um círculo é dada pelo produto entre π e o quadrado da medida do raio. Lembre-se que o raio é a distância entre o centro do círculo e um ponto sobre a circunferência.
Se r é a medida do raio, então
\(A_{círculo}=π.r^2\)
Como calcular a área de figuras planas?
Uma das maneiras de calcular a área de uma figura plana é substituir as informações necessárias na fórmula adequada. Vejamos dois exemplos a seguir e mais dois exercícios resolvidos ao final da página.
Exemplos
- Qual a área de um retângulo em que o lado maior mede 12cm e o lado menor mede 8cm?
Perceba que temos todas as informações para calcular a área de um retângulo. Considerando o lado maior como base, temos que o lado menor será a altura. Assim,
\( A_{retângulo}=12.8=96cm^2 \)
- Se o diâmetro de um círculo mede 8cm, qual a área desta figura?
Para calcular a área de um círculo, precisamos apenas da medida do raio. Como a medida do diâmetro corresponde ao dobro da medida do raio, então r = 4 cm . Assim,
\(A_{círculo}=π.4^2=16π cm^2\)
Geometria plana x geometria espacial
A Geometria Plana estuda as figuras e objetos bidimensionais, ou seja, que estão contidos em um plano. Todas as formas que estudamos anteriormente são exemplos de figuras planas.
A Geometria Espacial estuda os objetos tridimensionais, ou seja, que não estão contidos em um plano. Exemplos de formas espaciais são os sólidos geométricos, como os prismas, as pirâmides, o cilindro, o cone, a esfera, entre outros.
Leia também: Como é cobrada a geometria plana no Enem?
Exercícios resolvidos sobre áreas de figuras planas
Questão 1
(ENEM 2022) Uma empresa de engenharia projetou uma casa com a forma de um retângulo para um de seus clientes. Esse cliente solicitou a inclusão de uma varanda em forma de L. A figura apresenta a planta baixa desenhada pela empresa, já com a varanda incluída, cujas medidas, indicadas em centímetro, representam os valores das dimensões da varanda na escala de 1: 50.
A medida real da área da varanda, em metro quadrado, é
a) 33,40
b) 66,80
c) 89,24
d) 133,60
e) 534,40
Resolução
Observe que podemos repartir a varanda em dois retângulos: um com medida 16cm x 5cm e outro com medida 13,4cm x 4cm. Assim, a área total da varanda é igual à soma das áreas de cada um dos retângulos.
Além disso, como a escala da planta é 1:50 (ou seja, cada centímetro na planta corresponde a 50 cm na realidade), as medidas reais dos retângulos que compõem a varanda são 800cm x 250cm e 670cm x 200cm. Portanto,
\(A_{retângulo 1}=800.250=200000cm^2=20m^2\)
\(A_{retângulo2} =670.200=134000cm^2=13,4m^2\)
\(A_{\mathrm{varanda}}=20+13,4=33,4m^2\)
Alternativa A
Questão 2
(ENEM 2020 - PPL) Um vidraceiro precisa construir tampos de vidro com formatos diferentes, porém com medidas de áreas iguais. Para isso, pede a um amigo que o ajude a determinar uma fórmula para o cálculo do raio R de um tampo de vidro circular com área equivalente à de um tampo de vidro quadrado de lado L.
A fórmula correta é
a) \( R=\frac{L}{\sqrt\pi}\)
b) \( R=\frac{L}{\sqrt{2\pi}}\)
c) \( R=\frac{L^2}{2\pi}\)
d) \( R=\sqrt{\frac{2L}{\pi}}\)
e) \( R=2\sqrt{\frac{L}{\pi}}\)
Resolução
Perceba que neste exercício não é necessário calcular o valor numérico das áreas, mas sim conhecer suas fórmulas. Segundo o enunciado, a área do tampo de vidro circular possui a mesma medida que a área do tampo de vidro quadrado. Isso significa que devemos igualar a área de um círculo de raio R com a área de quadrado de lado L:
\(A_{círculo} = A_{quadrado}\)
\(\pi.R^2=L^2\)
Isolando R, temos que
\(R=\frac{L}{\sqrt\pi}\)
Alternativa A.