A área do cone refere-se à área total de sua superfície, consistindo na soma da área lateral desse sólido com a área de sua base.
A área de um cone é a área total da superfície desse sólido geométrico, formada pela soma da sua área lateral e da área do círculo de sua base. Para determinar esse valor, é necessário conhecer a medida da geratriz do cone e do raio de sua base.
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Resumo sobre a área do cone
- A área de um cone é a área superficial total desse sólido.
- A área total do cone é a soma da sua área lateral e da área de sua base.
- A fórmula da área de um cone que possui uma geratriz g e uma base de raio r é:
\(Área\ total =\pi r(g+r)\)
Videoaula sobre área do cone
Planificação do cone
O cone é um sólido geométrico caracterizado como corpo redondo, formado pelos segmentos de reta com extremidades em um círculo e um único ponto fora dele, chamado de vértice do cone. O cone, assim como o cilindro, possui uma planificação.
Considerando um corte sobre a geratriz g de um cone reto (que é qualquer segmento que liga o vértice do cone com a circunferência de sua base), é possível obter a planificação desse sólido, formada por duas figuras: um setor circular e um círculo:
Fórmula da área do cone
Com base na planificação do cone reto, observa-se que sua área pode ser dividida em duas:
- Área lateral: corresponde ao setor circular que aparece na planificação, cujo comprimento de arco é dado pelo comprimento da circunferência da base (2πr) e o raio do setor circular é dado por g.
- Área da base: relacionada ao círculo da base do cone de raio r.
Assim, de acordo com a fórmula da área de um setor circular e a fórmula da área de um círculo, é possível determinar que:
\(Área\ lateral\ do\ cone= Al=2πr\cdot g2=πrg\)
\(Área\ da\ base \ do\ cone = Ab=πr2\)
Assim, a área total de um cone é a soma das suas áreas lateral e da base:
\(Área \ total =A_l+A_b=\pi rg+\pi r^2=\pi r(g+r)\)
Cálculo da área do cone
Como foi visto, para calcular a área total de um cone, são necessárias duas informações sobre ele: a medida de sua geratriz e o raio do círculo de sua base.
Exemplo:
Calcule a área total de um cone cuja geratriz mede 5 cm e o raio do círculo da base mede 6 cm . (Considere π=3)
Conforme os dados fornecidos e utilizando a fórmula da área total de um cone, obtém-se:
\(Área\ total =\pi r(g+r)\)
\(Área\ total =3\cdot6\cdot(5+6)\)
\(Área\ total =18\cdot11\)
\(Área \ total =198\ cm^2\)
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Exercícios resolvidos sobre área do cone
Questão 1
Durante a planificação de um cone reto, observou-se que o setor circular formado corresponde a uma área lateral de 28π cm2. Qual é a área total desse cone sabendo que sua geratriz mede 7 cm?
a) 11π cm2
b) 28π cm2
c) 44π cm2
d) 49π cm2
e) 121π cm2
Resolução: letra C
Para determinar a área total de um cone, deve-se conhecer sua geratriz e seu raio da base. Conforme os dados da questão, a área lateral do cone é:
\(Área\ lateral \ do\ cone=π\cdot r\cdot g\)
\(28\pi=\pi\cdot r\cdot7\)
\(\frac{28\pi}{7\pi}=r\rightarrow r=4\ cm\)
Assim, com as medidas da geratriz e o raio da base do cone, é possível determinar sua área total:
\(Área \ total =\pi r(g+r)\)
\(Área \ total =\pi\cdot4\cdot(7+4)\)
\(Área\ total =4\pi\cdot11\)
\(Área \ total =44\pi\ cm^2\)
Questão 2
(Fuvest - adaptado) Deseja-se construir um cone circular reto com 4 cm de raio da base e 3 cm de altura.
Considere π=3 .
A área total desse cone a ser construído será de:
a) 36 cm2
b) 45 cm2
c) 81 cm2
d) 108 cm2
e) 144 cm2
Resolução: letra D
Para resolver essa questão, deve-se perceber que, em um cone reto, a altura e o raio da base formam os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é a geratriz do cone. Assim, pelo teorema de Pitágoras:
\((hipotenusa)^2=(cateto\ 1)^2+(cateto\ 2)^2\)
\((geratriz)^2=(raio)^2+(altura)^2\)
\(\left(geratriz\right)^2={(4\ cm)}^2+{(3cm)}^2\)
\(geratriz=\pm\sqrt{25\ cm^2\ }\)
\(geratriz=\pm5\ cm\)
Como a medida da geratriz não pode ser um número negativo, segue que sua medida é de 5 cm.
Com essas informações sobre a geratriz e o raio da base do cone, segue que sua área total é dada por:
\(Área \ total =\pi r(g+r)\)
\(Área\ total =3\cdot4\cdot(5+4)\)
\(Área\ total =12\cdot9\)
\(Área\ total =108\ cm^2\)