Área do cone

A área de um cone é a área total da superfície desse sólido geométrico, formada pela soma da sua área lateral e da área do círculo de sua base. Para determinar esse valor, é necessário conhecer a medida da geratriz do cone e do raio de sua base.

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Resumo sobre a área do cone

• A área de um cone é a área superficial total desse sólido.
• A área total do cone é a soma da sua área lateral e da área de sua base.
• A fórmula da área de um cone que possui uma geratriz g e uma base de raio r é:

\(Área\ total =\pi r(g+r)\)

Videoaula sobre área do cone

Planificação do cone

O cone é um sólido geométrico caracterizado como corpo redondo, formado pelos segmentos de reta com extremidades em um círculo e um único ponto fora dele, chamado de vértice do cone. O cone, assim como o cilindro, possui uma planificação.

Considerando um corte sobre a geratriz g de um cone reto (que é qualquer segmento que liga o vértice do cone com a circunferência de sua base), é possível obter a planificação desse sólido, formada por duas figuras: um setor circular e um círculo:

Fórmula da área do cone

Com base na planificação do cone reto, observa-se que sua área pode ser dividida em duas:

• Área lateral: corresponde ao setor circular que aparece na planificação, cujo comprimento de arco é dado pelo comprimento da circunferência da base (2πr)  e o raio do setor circular é dado por g.
• Área da base: relacionada ao círculo da base do cone de raio r.

Assim, de acordo com a fórmula da área de um setor circular e a fórmula da área de um círculo, é possível determinar que:

\(Área\ lateral\ do\ cone= Al=2πr\cdot g2=πrg\)

\(Área\ da\ base \ do\ cone = Ab=πr2\)

Assim, a área total de um cone é a soma das suas áreas lateral e da base:

\(Área \ total =A_l+A_b=\pi rg+\pi r^2=\pi r(g+r)\)

Cálculo da área do cone

Como foi visto, para calcular a área total de um cone, são necessárias duas informações sobre ele: a medida de sua geratriz e o raio do círculo de sua base.

Exemplo:

Calcule a área total de um cone cuja geratriz mede 5 cm e o raio do círculo da base mede 6 cm . (Considere π=3)

Conforme os dados fornecidos e utilizando a fórmula da área total de um cone, obtém-se:

\(Área\ total =\pi r(g+r)\)

\(Área\ total =3\cdot6\cdot(5+6)\)

\(Área\ total =18\cdot11\)

\(Área \ total =198\ cm^2\)

Leia também: Como calcular o volume do cone

Exercícios resolvidos sobre área do cone

Questão 1

Durante a planificação de um cone reto, observou-se que o setor circular formado corresponde a uma área lateral de 28π cm². Qual é a área total desse cone sabendo que sua geratriz mede 7 cm?

a) 11π cm2

b) 28π cm2

c) 44π cm2

d) 49π cm2

e) 121π cm2

Resolução: letra C

Para determinar a área total de um cone, deve-se conhecer sua geratriz e seu raio da base. Conforme os dados da questão, a área lateral do cone é:

\(Área\ lateral \ do\ cone=π\cdot r\cdot g\)

\(28\pi=\pi\cdot r\cdot7\)

\(\frac{28\pi}{7\pi}=r\rightarrow r=4\ cm\)

Assim, com as medidas da geratriz e o raio da base do cone, é possível determinar sua área total:

\(Área \ total =\pi r(g+r)\)

\(Área \ total =\pi\cdot4\cdot(7+4)\)

\(Área\ total =4\pi\cdot11\)

\(Área \ total =44\pi\ cm^2\)

Questão 2

(Fuvest - adaptado) Deseja-se construir um cone circular reto com 4 cm  de raio da base e 3 cm de altura.

Considere π=3 .

A área total desse cone a ser construído será de:

a) 36 cm2

b) 45 cm2

c) 81 cm2

d) 108 cm2

e) 144 cm2

Resolução: letra D

Para resolver essa questão, deve-se perceber que, em um cone reto, a altura e o raio da base formam os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é a geratriz do cone. Assim, pelo teorema de Pitágoras:

\((hipotenusa)^2=(cateto\ 1)^2+(cateto\ 2)^2\)

\((geratriz)^2=(raio)^2+(altura)^2\)

\(\left(geratriz\right)^2={(4\ cm)}^2+{(3cm)}^2\)

\(geratriz=\pm\sqrt{25\ cm^2\ }\) 

\(geratriz=\pm5\ cm\)

Como a medida da geratriz não pode ser um número negativo, segue que sua medida é de 5 cm.

Com essas informações sobre a geratriz e o raio da base do cone, segue que sua área total é dada por:

\(Área \ total =\pi r(g+r)\)

\(Área\ total =3\cdot4\cdot(5+4)\)

\(Área\ total =12\cdot9\)

\(Área\ total =108\ cm^2\)