Área dos polígonos

A área de um polígono é a medida da superfície que ele ocupa no plano. Sua unidade de medida está relacionada com a unidade de medida de seus lados, sendo as mais usuais os centímetros e metros quadrados.

A maioria dos polígonos convexos possuem fórmulas que determinam suas áreas, enquanto polígonos côncavos não as possuem. Assim, para calcular a área de polígonos côncavos é necessário decompô-los em polígonos conhecidos e somar as áreas obtidas.

Leia também: Como calcular a área das figuras planas?

Resumo sobre área dos polígonos

• A área de um polígono é a medida da superfície que ele ocupa.

• As unidades de medida de área dependem das unidades de medida dos lados do polígono.

• A apótema de um polígono é o segmento que representa a distância entre o centro geométrico da figura e um de seus lados.

• O perímetro de um polígono é a soma das medidas de seus lados.

• A área de um triângulo de base b e altura h é:

\(A=\frac{b⋅h}2\)

• A área do quadrado de lado l é:

\(A=l^2\)

• A área de um retângulo de base b e altura h é:

\(A=b⋅h\)

• A área de um paralelogramo de base b e altura h é:

\(A=b⋅h\)

• A área de um hexágono regular de lado l é:

\(A=\frac{3l^2 \sqrt3}2\)

• A área de um losango cujas diagonais são D e d é:

\(A=\frac{D⋅d}2\)

• A área de um trapézio de bases B e b e altura h é:

\(A=\frac{(B+b)⋅h}2\)

• A área de um polígono côncavo é a soma da área de polígonos convexos que o compõem.

Qual a unidade de medida da área dos polígonos?

Um polígono é uma figura geométrica plana fechada, formada por segmentos de reta interligados em suas extremidades. Já a área de um polígono é a medida da superfície que ele ocupa.

Assim, a unidade de medida da área de um polígono dependerá da unidade de medida de seus lados.

Por exemplo, se um quadrado possui a medida de seus lados em centímetro (cm), a unidade de medida de sua área será em centímetros quadrados (\(cm^2\)). Se os lados tiverem medidas em metros (m), então sua área será medida em metros quadrados (\(m^2\)) e assim por diante.

Apótema dos polígonos

O apótema de um polígono é o segmento que representa a distância entre o centro geométrico desse polígono e um de seus lados. Esse segmento é, portanto, perpendicular ao lado considerado.

Geralmente o apótema é um elemento de destaque em polígonos regulares, pois esse segmento possui como extremidades o centro do polígono e o ponto médio de seus lados.

Perímetro dos polígonos

O perímetro de um polígono é a soma das medidas de seus lados. Assim, para calculá-lo é necessário conhecer essas medidas ou possuir formas de determiná-las.

Como se calcula a área dos polígonos?

Para calcular a área de um polígono é necessário primeiramente determinar que polígono é esse, pois dependendo de como ele for, é necessário saber algumas medidas específicas, como a medida de seus lados, sua altura ou até mesmo a medida de suas diagonais. Veja a seguir as fórmulas gerais para calcular a área de determinados polígonos.

→ Área de um triângulo

Um triângulo é um polígono de três lados. Para encontrar a área de um triângulo é necessário, de forma geral, saber a medida de um de seus lados e da altura relativa a esse lado.

Para calcular a área de um triângulo basta utilizar a fórmula:

Área do triângulo = \(\frac{b⋅h}2\)

• Exemplo:

Calcule a área de um triângulo retângulo cujos catetos medem 4 e 5 centímetros.

Resolução:

Em um triângulo retângulo, o ângulo entre seus dois catetos é um ângulo reto e, portanto, esses lados são perpendiculares entre si. Assim, um desses lados pode ser considerado a base do triângulo, enquanto o outro representa a altura.

Logo, utilizando a fórmula da área de um triângulo:

\(A=\frac{b⋅h}2=\frac{4⋅5}2=10\ cm^2\)

→ Área de um quadrado ou de um retângulo

Um retângulo é um polígono cujos ângulos internos são congruentes entre si, todos medindo 90°. Um quadrado, por sua vez, é um caso particular de retângulo, pois além de possuir ângulos internos de 90°, ele ainda possui todos os seus lados congruentes, ou seja, todos possuem a mesma medida.

Para calcular a área de um quadrado, basta saber a medida de um de seus lados, enquanto para descobrir a área de um retângulo é necessário saber a medida da sua base e altura.

A área de um quadrado é a medida de seu lado ao quadrado, ou seja,

Área do quadrado = \(l⋅l=l^2\)

Já a área do retângulo é o produto da medida de sua base pela sua altura:

Área do retângulo = \(b⋅h\)

• Exemplo 1:

Calcule a área de um quadrado cujo lado mede 5 cm.

Resolução:

Substituindo o valor \(l=5\) na fórmula da área do quadrado, tem-se

\(A=l^2=5^2=25\ cm^2\)

• Exemplo 2:

Calcule a área de um retângulo cuja base mede 2 metros e a altura é de 3,5 metros.

Resolução:

Substituindo o valor b = 2 e h = 3,5 na fórmula da área do retângulo, tem-se

\(A=b⋅h=2⋅3,5=7\ m^2\)

→ Área do paralelogramo

Um paralelogramo é um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Para determinar a medida de sua área, é necessário conhecer as medidas de um de seus lados e da altura referente a esse lado.

A área do paralelogramo é dada pela seguinte fórmula:

Área do paralelogramo = \(b⋅h\)

• Exemplo:

Encontre a área de um paralelogramo cuja base mede 5 cm e cuja altura referente a ela é igual a 1,2 cm.

Resolução:

Pela fórmula da área do paralelogramo, obtém-se:

\(A=b⋅h=5⋅1,2=6\ cm^2\)

→ Área de um losango

Um losango é um quadrilátero cujos quatro lados possuem a mesma medida. Para calcular sua área é necessário saber a medida de suas duas diagonais, geralmente chamadas de diagonal maior (D) e diagonal menor (d).

A fórmula da área de um losango é expressa da seguinte forma:

Área do losango = \(\frac{D⋅d}2\)

• Exemplo:

Calcule a área de um losango cujas diagonais medem 1,5 e 4 metros.

Resolução:

Utilizando a fórmula da área do losango:

\(A=\frac{D⋅d}2=\frac{4⋅1,5}2=3\ m^2\)

→ Área de um trapézio

Um trapézio é um quadrilátero em que apenas dois lados opostos são paralelos e os outros dois são oblíquos. Para calcular sua área é necessário saber a medida desses dois lados paralelos, chamados de base maior (B) e base menor (b), e a altura h referente a eles.

Sua área pode ser calculada através da fórmula:

Área do trapézio = \(\frac{(B+b)⋅h}2\)

• Exemplo:

Encontre a área de um trapézio cujas bases medem 2 e 5 centímetros, enquanto a altura relativa a eles é de 4 centímetros.

Resolução:

Pela fórmula da área do trapézio, temos:

\(A=\frac{(B+b)⋅h}2=\frac{(5+2)⋅4}2=14\ cm^2\)

→ Área de um hexágono regular

Um hexágono é um polígono que possui seis lados. Nesse sentido, o hexágono regular é um polígono de seis lados cujas medidas são congruentes entre si, ou seja, todos os seus lados possuem a mesma medida.

Já o apótema do hexágono regular é o segmento que une seu centro com o ponto médio de um de seus lados, fazendo com que essa medida seja também a altura de um triângulo equilátero cujos vértices são dois vértices adjacentes do hexágono e o seu centro.

Assim, para calcular a área de um hexágono regular, basta considerá-lo como a composição de seis triângulos equiláteros de base l e altura h.

Pode-se também utilizar o teorema de Pitágoras para descrever a área de um triângulo equilátero apenas em função de seus lados, obtendo-se a relação:

Área do triângulo equilátero = \(\frac{l^2 \sqrt3}4\)

Portanto, multiplicando esse valor por 6, encontra-se a área do hexágono regular:

Área do hexágono regular = \(6⋅\frac{l^2 \sqrt3}4=\frac{3l^2 \sqrt3}2\)

• Exemplo:

Qual a área de um hexágono regular cujo lado mede 2 centímetros?

Resolução:

Utilizando a fórmula do hexágono regular, para l = 2, temos

\(A=\frac{3l^2\sqrt 3}2=\frac{3⋅4\sqrt3}2=6\sqrt3\ cm^2\)

→ Área de um polígono côncavo

Não existe uma fórmula geral para um polígono côncavo, mas em alguns casos, dadas as medidas corretas, pode-se decompor esse polígono em polígonos convexos conhecidos e, assim, calcular sua área através da soma da área dos polígonos menores.

• Exemplo:

Calcule a área do polígono abaixo:

Resolução:

Perceba que é possível decompor esse polígono em dois polígonos mais usuais: um triângulo e um retângulo:

Calculando a área de cada um deles, temos:

Área do retângulo = \(b⋅h=5⋅2=10\)

Área do triângulo = \(\frac{b⋅h}2=\frac{4⋅5}2=10\)

Portanto, a área do polígono original é de

Área do polígono = Área do retângulo + Área do triângulo

Área do polígono = 20 unidades de medida ao quadrado

Veja também: Como calcular o volume de sólidos geométricos?

Exercícios resolvidos sobre área dos polígonos

Questão 1

(Fundatec) Um terreno retangular tem 40 metros de comprimento e 22 metros de largura. A área total construída nesse terreno é de \(240\ m^2\). A área do terreno onde não há construção é de:

A) \(200\ m^2\)

B) \(540\ m^2\)

C) \(640\ m^2\)

D) \(650\ m^2\)

E) \(880\ m^2\)

Resolução:

Alternativa C.

Primeiramente deve-se calcular a área total do terreno. Sabendo que este é um retângulo de 40 metros de base e 22 metros de altura, sua área é dada por:

Área total do terreno = \(40⋅22=880\ m^2\)

Dessa área, \(240\ m^2\) estão atualmente com alguma construção, ou seja, a área do terreno que não possui construção é de

Área sem construção = \(880-240=640\ m^2\)

Questão 2

Um terreno possui uma área de \(168\ m^2\). Qual dos terrenos abaixo possui uma área com esse mesmo valor?

A) Um terreno quadrado cujo lado mede 13 m.

B) Um terreno retangular cujo comprimento mede 13 m e a largura mede 12 m.

C) Um terreno com formato de triângulo retângulo cujos catetos medem 21 m e 16 m.

D) Um terreno com formato de trapézio cujas bases medem 16 m e 12 m e a altura é de 5 m.

E) Um terreno com formato de losango cujas diagonais medem 12 m e 21 m

Resolução

Alternativa C.

Para encontrar a alternativa correta, deve-se calcular a área de todos os terrenos apresentados e avaliar qual deles possui área de \(168\ m^2\).

Utilizando as fórmulas adequadas ao formato de cada terreno, temos:

Terreno quadrado = \(l^2=13^2=169\ m^2\)

Terreno retângulo = \(b⋅h=13⋅12=156\ m^2\)

Terreno triângulo retângulo = \(\frac{b⋅h}2=\frac{21⋅16}2=168\ m^2\)

Terreno trapézio = \(\frac{(B+b)⋅h}2=\frac{(16+12)⋅5}2=70\ m^2\)

Terreno losango = \(\frac{D⋅d}2=\frac{21⋅12}2=126\ m^2\)

Logo, o terreno com área de \(168\ m^2\) é o terreno com formato de triângulo retângulo.

Fontes

DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos de Matemática Elementar. Geometria Plana. Vol. 9. São Paulo: Atual, 1995.

REZENDE, E. Q. F.; QUEIROZ, M. L. B. Geometria Euclidiana Plana: e construções geométricas. 2ª ed. Campinas: Unicamp, 2008.