Ângulo entre dois vetores

Vetores são segmentos de reta orientados. Dessa forma, assim como é possível calcular o ângulo entre dois segmentos de reta, também é possível medir o ângulo entre dois vetores.

Por serem segmentos de reta orientados, os vetores possuem um início e um fim bem definidos, isto é, além da direção que já está exposta pelo segmento de reta, é possível marcar um sentido. Para tanto, no lugar de um segmento de reta convencional, é desenhada uma flecha cuja ponta indica o sentido.

O cálculo do ângulo entre dois vetores depende de seus comprimentos. Geralmente os vetores têm início na origem do espaço onde estão inseridos. Portanto, sua representação é feita utilizando-se apenas seu ponto final. Considerando o plano, um vetor “v” que tenha início no ponto O = (0,0) e termine no ponto A = (x,y) será representado da seguinte maneira: v = (x,y). Desse modo, para calcular o comprimento de um vetor v = (x,y), basta calcular a distância entre os pontos O e A. A essa distância, que é o comprimento do vetor v, damos o nome de norma ou módulo do vetor v, cuja notação será |v|. Portanto, seja v = (x,y):

Cálculos realizados para encontrar a norma do vetor v

Considerando dois vetores pertencentes ao mesmo plano u = (x₁,y₁) e v = (x₂,y₂), o ângulo entre esses vetores também depende do produto interno entre eles. O produto interno entre os vetores u e v tem como resultado um número real que é denotado por  e dado por:

Na realidade, o cálculo acima é resultado da seguinte definição de produto interno, sendo θ o ângulo entre u e v:

Essa definição relaciona o ângulo θ entre os vetores u e v com seus comprimentos e o produto interno entre eles. Dessa maneira, basta dividir toda essa equação por |u|·|v| para obter o cosseno do ângulo entre os vetores u e v.

Portanto, para calcular o ângulo entre os vetores u e v, encontra-se primeiro o cosseno do ângulo θ entre esses vetores e, depois, calcula-se o arccosθ, o que, basicamente, é encontrar o ângulo cujo cosseno seja igual a θ.

Outra forma de apresentar a fórmula acima, para o cálculo do cosθ, faz uso das componentes dos vetores e já evidencia todos os cálculos que devem ser feitos:

Cálculo do ângulo entre dois vetores utilizando suas componentes

Um bom exemplo do uso de vetores e da influência do ângulo entre eles pode ser encontrado na Física, em que os vetores indicam o movimento retilíneo de objetos. Entretanto, um objeto que se movimenta em linha reta horizontalmente para a direita, por exemplo, pode sofrer influência de diversas forças em várias direções e sentidos simultaneamente. Esse objeto, na melhor das hipóteses, sofrerá as seguintes forças: uma força vertical para baixo, chamada de gravidade; uma força vertical para cima, equivalente à gravidade; certamente uma força para a direita, que o leva ao movimento, e uma outra força contrária a essa última, chamada de atrito.

Para calcular o movimento resultante de todas essas forças e chegar à conclusão de que o objeto se move para a direita, utiliza-se um vetor para cada força e considera-se o ângulo entre esses vetores em quase todos os cálculos - em especial, quando o objeto está sobre uma rampa com alguma inclinação relativa ao solo.