Adição e subtração de fração algébrica

Frações algébricas são expressões que possuem pelo menos uma incógnita no denominador. Incógnitas são números desconhecidos de uma expressão algébrica. Dessa maneira, essas expressões são formadas apenas por números – conhecidos ou desconhecidos – e por operações. Por essa razão, valem todas as operações matemáticas básicas para as frações algébricas e suas propriedades.

São exemplos de frações algébricas:

a)

1
x

b)

2x⁴y²
3kh

Adição e subtração de frações algébricas

A adição e a subtração de frações algébricas ocorrem da mesma maneira que a adição e subtração de frações numéricas.

1º caso: Denominadores iguais

Quando os denominadores de uma adição ou subtração de frações algébricas são iguais, conserve o denominador no resultado e realize a soma ou subtração apenas nos numeradores. Por exemplo:

28x + 15x = 28x + 15x = 43x
yx²     yx²         yx²         yx²

2º caso: Denominadores diferentes

Quando os denominadores das frações algébricas forem diferentes, a adição ou subtração seguirá os mesmos princípios da adição ou subtração de frações numéricas: primeiramente, faz-se o MMC dos denominadores; depois, encontram-se frações equivalentes com denominadores iguais ao MMC e, por fim, faz-se a soma/subtração. Veja o exemplo abaixo:

1 + x +    4x²    – 1 – x
1 – x      1 – x²    1 + x

Etapa 1: Calcule o mínimo múltiplo comum entre os denominadores.

Para isso, é necessário saber fatorar polinômios, especialmente pelos casos da diferença de dois quadrados, trinômio quadrado perfeito e fator comum em evidência. No exemplo, a fração central apresenta um denominador que pode ser fatorado pela diferença de dois quadrados. Os outros dois não podem ser fatorados.

Dessa maneira, trocando o denominador da fração central por sua forma fatorada teremos:

1 + x +         4x²       – 1 – x
1 – x    (1 – x)(1 + x)    1 + x

Assim, o mínimo múltiplo comum entre os denominadores será (1 – x)(1 + x). Para saber como realizar esse cálculo, clique aqui.

Etapa 2: Encontrar frações equivalentes.

Com o MMC em mãos, divida-o pelo denominador de cada fração do exemplo e multiplique o resultado pelo respectivo numerador. Isso gerará as frações equivalentes com denominadores iguais – o próprio MMC –, que devem ser somadas/subtraídas. No exemplo, os resultados serão:

1 + x +         4x²          – 1 – x =     (1 + x)²     +         4x²       –      (1 – x)²     
1 – x     (1 – x)(1 + x)    1 + x    (1 – x)(1 + x)    (1 – x)(1 + x)    (1 – x)(1 + x)

Observe que, dividindo o MMC por 1 – x, que é o denominador da primeira fração, o resultado será 1 + x. Multiplicando isso por 1 + x, que é o numerador da primeira fração, teremos o numerador da respectiva fração equivalente. Repete-se o processo para todas as frações até obter o resultado acima.

Etapa 3: Somar/subtrair os numeradores.

Encontradas as frações equivalentes, basta somar ou subtrair os numeradores e simplificar o resultado. Observe:

     (1 + x)²     +        4x²        –     (1 – x)²     
(1 – x)(1 + x)    (1 – x)(1 + x)    (1 – x)(1 + x)

1 + 2x + x² + 4x² – (1 – 2x + x²)
(1 – x)(1 + x)

1 + 2x + x² + 4x² – 1 + 2x – x²
(1 – x)(1 + x)

     4x + 4x²    
(1 – x)(1 + x)

     4x(1 + x)    
(1 – x)(1 + x)

    4x    
(1 – x)