Aceleração angular é uma aceleração que ocorre em trajetórias circulares. Ela é calculada, principalmente, através da variação da velocidade angular sobre a variação do tempo.
A aceleração angular é uma grandeza física vetorial que mede a velocidade angular durante um percurso circular em um determinado tempo. Ela pode ser calculada através da aceleração angular média, da função horária da velocidade angular, da função horária da posição angular e da equação de Torricelli.
Leia também: Aceleração da gravidade — a velocidade de queda de um corpo por segundo
Resumo sobre aceleração angular
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A aceleração angular é uma aceleração que ocorre em trajetórias circulares.
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Ela pode ser calculada através da aceleração angular média, a partir da seguinte fórmula:
\(α_m=\frac{∆ω}{∆t}\)
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Ela também pode ser calculada através da função horária da velocidade angular, a partir da seguinte fórmula:
\(ω_f=ω_i+α\cdot t\)
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Ela também pode ser calculada através da função horária da posição angular, a partir da seguinte fórmula:
\(φ_f=φ_i+ω_i\cdot t+\frac{α\cdot t^2}2\)
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Enquanto a aceleração angular ocorre em trajetórias circulares, a aceleração linear ocorre em trajetórias retilíneas.
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A velocidade angular é definida pelo quanto um corpo se desloca angularmente durante um determinado tempo.
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Quando a velocidade angular é constante, a aceleração angular é nula.
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A equação de Torricelli no movimento circular relaciona a velocidade angular à aceleração angular e ao deslocamento angular de um corpo da seguinte forma:
\(ω_f^2=ω_0^2+2\cdot α\cdot ∆φ\)
Quais são as fórmulas da aceleração angular?
A aceleração angular é uma grandeza física vetorial que mede a velocidade angular durante um percurso circular em um determinado tempo. Ela pode ser calculada a partir das fórmulas que veremos a seguir.
→ Aceleração angular média
\(α_m=\frac{∆ω}{∆t}\)
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\(α_m\) → aceleração angular média, medida em \([rad/s^2]\).
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\(∆ω\) → variação da velocidade angular, medida em \([rad/s]\).
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\(∆t\) → variação de tempo, medida em segundos \([s]\).
→ Função horária da velocidade no MCUV
\(ω_f=ω_i+α\cdot t\)
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\(ω_f\) → velocidade angular final, medida em \([rad/s]\).
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\(ω_i\) → velocidade angular inicial, medida em \([rad/s]\).
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\(α\) → aceleração angular, medida em \([rad/s^2]\).
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\(t \) → tempo, medido em segundos \([s]\).
→ Função horária da posição no MCUV
\(φ_f=φ_i+ω_i\cdot t+\frac{α\cdot t^2}2\)
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\(φ_f\) → deslocamento angular final, medido em radianos \([rad] \).
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\(φ_i\) → deslocamento angular inicial, medido em radianos \([rad] \).
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\(ω_i\) → velocidade angular inicial, medida em \([rad/s]\).
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\(α\) → aceleração angular, medida em \([rad/s^2]\).
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\(t \) → tempo, medido em segundos \( [s]\).
Como calcular a aceleração angular?
A aceleração angular é calculada através da fórmula da aceleração angular média, da função horária da velocidade no MCUV e também da função horária da posição no MCUV. Abaixo, temos exemplos de como calculamos a aceleração angular através de cada uma dessas fórmulas.
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Exemplo 1:
Calcule a aceleração angular média de uma roda de bicicleta com velocidade angular de 0,9 rad/s girando durante 3 segundos.
Resolução:
Calcularemos a aceleração angular média através da sua fórmula:
\(α_m=\frac{∆ω}t\)
\(α_m=\frac{0,9}3\)
\(α_m=0,3\ rad/s^2\)
A aceleração angular média da roda é de \(0,3\ rad/s^2\).
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Exemplo 2:
Calcule a aceleração angular de um móvel com velocidade angular inicial de 10 rad/s que levou 1 minuto para atingir a velocidade angular de 70 rad/s.
Resolução:
Calcularemos a aceleração angular através da fórmula da função horária da velocidade no MCUV:
\(ω_f=ω_i+α\cdot t\)
Sabendo que 1 minuto equivale a 60 segundos, temos:
\(70=10+α\cdot 60\)
\(70-10=α\cdot 60\)
\(60=α\cdot 60\)
\(α=\frac{60}{60}\)
\(α=1\ rad/s^2 \)
A aceleração angular do móvel foi de \(1\ rad/s^2 \).
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Exemplo 3:
Calcule a aceleração angular de uma bola presa a uma corda, inicialmente em repouso, que é girada durante 10 segundos até completar um deslocamento angular de 6 radianos.
Resolução:
Calcularemos a aceleração angular através da fórmula da função horária da posição no MCUV:
\(φ_f=φ_i+ω_i\cdot t+\frac{α\cdot t^2}2\)
\(6=0+0\cdot 10+\frac{α\cdot 10^2}2\)
\(6=\frac{α\cdot 100}2\)
\(6\cdot 2=α\cdot 100\)
\(12=α\cdot 100\)
\(α=\frac{12}{100}\)
\(α=0,12\ rad/s^2\)
A aceleração angular é de \(0,12\ rad/s^2\).
Aceleração angular x aceleração linear
A aceleração angular e a aceleração linear são grandezas físicas vetoriais que se diferenciam quanto ao seu movimento. Enquanto a aceleração angular só aparece durante o movimento circular uniformemente variado (MCUV), a aceleração linear só aparece durante o movimento uniformemente variado (MUV).
Ambas as acelerações, angular e linear, se relacionam através da seguinte fórmula:
\(α=\frac{a}R\)
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\(α \) → velocidade angular, medida em \([rad/s^2]\).
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a → aceleração linear, medida em \([m/s^2] \).
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R → raio da circunferência
Aceleração angular e velocidade angular
A aceleração angular e a velocidade angular são grandezas físicas vetoriais do movimento circular uniformemente variado (MCUV) que estão intimamente relacionadas, já que a aceleração angular somente acontece quando a velocidade angular não é constante. Enquanto a aceleração angular é dada pela velocidade angular de um corpo durante um intervalo de tempo, a velocidade angular é dada pelo deslocamento angular de um corpo durante um intervalo de tempo.
Veja também: Qual a relação entre a velocidade linear e a velocidade angular?
Equação de Torricelli
A equação de Torricelli é uma equação que relaciona a velocidade linear à aceleração linear e ao deslocamento linear, no movimento uniformemente variado (MUV). Porém, ela também pode ser usada para relacionar a velocidade angular à aceleração angular e ao deslocamento angular, no MCUV, sendo descrita pela fórmula:
\(ω_f^2=ω_0^2+2\cdot α\cdot ∆φ\)
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\(ω_f\) → velocidade angular final, medida em radianos por segundo \([rad/s] \).
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\(ω_0\) → velocidade angular incial, medida em radianos por segundo \([rad/s] \).
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\(α \) → aceleração angular, medida em \( [rad/s^2] \).
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\(∆φ \) → variação do deslocamento angular, medida em radianos \([rad] \).
Exercícios resolvidos sobre aceleração angular
Questão 1
Qual a aceleração angular aproximada de uma centrifugadora que apresenta velocidade máxima de 50 rad/s após completar 5 voltas? Considere π = 3.
A) \(42\ rad/s^2\)
B) \(58\ rad/s^2\)
C) \(63\ rad/s^2\)
D) \(71\ rad/s^2\)
E) \(89\ rad/s^2\)
Resolução:
Alternativa A.
Primeiramente, calcularemos o deslocamento angular através de uma regra de três simples:
\(1\ volta-2\cdot π\ rad\)
\(5\ voltas - ∆φ \)
Então:
\(∆φ=5\cdot 2\cdot π\ rad\)
\(∆φ=10\cdot π\ rad\)
Por fim, calcularemos a aceleração angular, através da equação de Torricelli:
\(ω_f^2=ω_0^2+2\cdot α\cdot ∆φ\)
\(50^2=0^2+2\cdot α\cdot 10\cdot π\)
\(2500=0+α\cdot 20\cdot π\)
\(2500=α\cdot 20\cdot 3\)
\(2500=α\cdot 60\)
\(\frac{2500}{60}=α\)
\(42\ rad/s^2≅α\)
Questão 2
Uma partícula descreve sua aceleração angular através da equação \(α=4t+t^2\). A partir disso, determine a aceleração angular dessa partícula no instante \(t=60s\).
A) \(768\ rad/s^2\)
B) \(960\ rad/s^2\)
C) \(1280\ rad/s^2\)
D) \(1920\ rad/s^2\)
E) \(3840\ rad/s^2\)
Resolução:
Alternativa E.
Calcularemos a aceleração angular no instante \(t=60s\) subtituindo esse valor na equação dada:
\(α=4t+t^2\)
\(α=4\cdot 60+60^2\)
\(α=240+3600\)
\(α=3840\ rad/s^2\)