Plano inclinado com atrito

O plano inclinado com atrito é uma máquina simples caracterizada por ter um ângulo de inclinação não nulo, considerando a atuação da força de atrito sobre o movimento dos corpos. Para calcular o movimento dos corpos sobre um plano inclinado com atrito, é necessário, principalmente, identificar todas as forças que atuam sobre esse corpo.

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Resumo sobre o plano inclinado com atrito

• O plano inclinado com atrito é uma máquina simples caracterizada por ter um ângulo de inclinação e por considerar a força de atrito.
• É um dos assuntos mais importantes estudados na dinâmica.
• A força de atrito no plano inclinado resiste ao movimento dos corpos.
• Para o cálculo do plano inclinado com atrito, podemos empregar diversas fórmulas, como a segunda lei de Newton, a força peso e a força de atrito.
• A aceleração do plano inclinado com atrito, quando temos apenas a força peso, normal e atrito sobre o corpo, é dada pela fórmula:

\(a=g\cot(\sin{\theta}-\mu\cdot\cos{\theta})\)

O que é plano inclinado?

O plano inclinado é definido como qualquer supefície que contenha determinada inclinação. Ele pode ser estudado de duas maneiras:

• Plano inclinado sem atrito: desconsideramos a ação da força de atrito sobre os movimentos dos corpos.
• Plano inclinado com atrito: consideramos a ação da força de atrito sobre o movimento dos corpos.

Em nosso cotidiano, é possível presenciar diversos exemplos de planos inclinados, como as montanhas, trilhas, ladeiras, rampas, escadas, esteiras, entre outros. Para saber mais detalhes sobre o plano inclinado, clique aqui.

Força de atrito no plano inclinado

A força de atrito é uma força de contato entre superfícies que se opõe ao movimento dos corpos, então ela sempre atua sobre os corpos em um plano inclinado. Contudo, para facilitar o estudo do plano inclinado, em alguns momentos desprezamos a força de atrito. A força de atrito é uma grandeza física vetorial, portanto, a sua direção, o seu sentido e o seu módulo serão:

• Direção: semelhante ao movimento do corpo, que pode ser vertical ou horizontal.
• Sentido: contrário ao movimento do corpo, que pode ser para baixo, para cima, para a direita, ou para a esquerda.
• Módulo ou intensidade: determinado pelo produto entre o coeficiente de atrito e a força normal.

Fórmulas do plano inclinado com atrito

As principais fórmulas utilizadas nos cálculos envolvendo plano inclinado com atrito são as equações da segunda lei de Newton (princípio fundamental da dinâmica), da força peso, da força de atrito e a decomposição da força peso.

→ Segunda lei de Newton

\(\vec{F_R}=\ m\cdot\vec{a}\)

• \(\vec{F_R}\) → força resultante no bloco, será a soma (caso as forças estejam para o mesmo lado) ou subtração (caso as forças estejam em lados opostos) de todas as forças na horizontal ou na vertical, medida em Newton [N].
• m
   → massa do objeto, medida em quilogramas [kg].
• \(\vec{a}\)  → aceleração do objeto, medida em metros por segundo ao quadrado [m/s²]
  .

→ Força peso

\(\vec{P}=\ m\cdot\vec{g}\)

• \(\vec{P}\)  → força peso, medida em Newton [N].
• m
   → massa do objeto, medida em quilogramas [kg].
• \(\vec{g}\) → aceleração da gravidade, medida em metros por segundo ao quadrado [m/s²]
  .

→ Decomposição da força peso

\(\vec{P_x}=P\cdot sen\ \theta\)

\(\vec{P_y}=P\cdot cos\ \theta\)

• \(\vec{P_x}\) → coordenada horizontal da força peso, medida em Newton [N].
• \(\vec{P_y}\) → coordenada vertical da força peso, medida em Newton [N].
• P
  → módulo da força peso, medido em Newton [N].
• sen θ
   → seno do ângulo de inclinação do plano, medido em graus [º].
• cos θ
  → cosseno do ângulo de inclinação do plano, medido em graus [º].

→ Força de atrito

\(\vec{f_{at}}=\mu\cdot\vec{N}\)

• \(\vec{f_{at}}\) → força de atrito, medida em Newton [N].
• μ
   → coeficiente de atrito, pode ser estático, quando o bloco está na iminência do movimento (quase se movimentando), ou cinético, quando o bloco está se movimentando; não possui unidade de medida.
• \(\vec{N}\) → força normal, medida em Newton [N].

Veja também: O que é o coeficiente de atrito?

Como se calcula o plano inclinado com atrito?

O plano inclinado com atrito é calculado de acordo com as informações fornecidas pelos exercícios, mas, geralmente, ele pode ser calculado em três passos:

• 1º passo: identificar as forças que atuam sobre o corpo.
• 2º passo: decompor a força peso, ou qualquer outra força que esteja na direção diagonal, em suas componentes vertical (eixo y) e horizontal (eixo x).
• 3º passo: resolver o exercício empregando as fórmulas da dinâmica, como a segunda lei de Newton, a força peso e a força de atrito.

Exemplo:

Determine a força de atrito e o coeficiente de atrito cinético em um bloco de 50 kg que desce um plano inclinado com aceleração de 4 m/s²

, sabendo que ele possui uma inclinação de 30°, conforme representado na imagem abaixo:

Considere a aceleração da gravidade como sendo \(10\ m/s^2, sen\ 30°=0,5 e\ cos\ \ 30°=0,8\).

Resolução:

Resolveremos esse exemplo pelos três passos mencionados:

• 1º passo: primeiramente, identificaremos as forças que atuam sobre esse bloco.

• 2º passo: nesse caso, só temos a força peso, então vamos decompô-la em sua componente vertical \(\vec{P_y}\) e componente horizontal \(\vec{P_x}.\)

• 3º etapa: por fim, calcularemos a força de atrito e o coeficiente de atrito cinético por meio das fórmulas da segunda lei de Newton, da força peso e da força normal.

Nesse caso, o bloco está descendo o plano inclinado, então a componente \(\vec{P_x}\) é maior que a força de atrito, portanto, pela segunda lei de Newton, calcularemos a força de atrito:

\(\vec{F_R}=\ m\cdot\vec{a}\)

\(\vec{P_x}-\vec{f_{at}}=\ m\cdot\vec{a}\)

\(P\cdot sen\ \theta-\vec{f_{at}}=\ m\cdot\vec{a}\)

\(m\cdot\vec{g}\cdot sen\ \theta-\vec{f_{at}}=\ m\cdot\vec{a}\)

\(50\cdot10\cdot sen\ 30°\vec{f_{at}}= 50\cdot4\)

\(500\cdot0,5-\vec{f_{at}}=\ 200\)

\(250-\vec{f_{at}}=200\)

\(-\vec{f_{at}}=\ 200-250\)

\(-\vec{f_{at}}=\ -50\)

\(\vec{f_{at}}=\ 50\ N\)

Por fim, calcularemos o coeficiente de atrito cinético por meio da fórmula da força de atrito:

\(\vec{f_{at}}=\ \mu_c\cdot\vec{N}\)

A força normal é equivalente à componente \(\vec{P_y}\), como observado no 2º passo, então:

\(\vec{f_{at}}=\ \mu_c\cdot\ \vec{P_y}\)

\(\vec{f_{at}}=\ \mu_c\cdot\ P\cdot cos\ \theta\)

\(\vec{f_{at}}=\ \mu_c\cdot\ m\cdot\vec{g}\cdot cos\ \theta\)

\(\vec{f_{at}}=\ \mu_c\cdot\ m\cdot\vec{g}\cdot cos\ 30°\)

\(50=\ \mu_c\cdot\ 50\cdot10\cdot0,8\)

\(50=\ \mu_c\cdot\ 400\)

\(\mu_c=\frac{50}{400}\)

\(\mu_c=0,125\)

Aceleração do plano inclinado com atrito

Quando o corpo disposto em um plano inclinado com atrito não está em equilíbrio, ou seja, está se movimentando, ele apresenta uma aceleração. Então, no caso mais simples do plano inclinado com atrito, quando temos apenas a atuação da força peso, força normal e força de atrito, a aceleração do corpo pode ser determinada pela equação:

\(a=g\cdot(\sin{\theta}-\mu\cdot\cos{\theta})\)

• a
   → aceleração do corpo, medida em [m/s²]
  .
• g
   → aceleração da gravidade, medida em [m/s²]
  .
• sen θ
   → seno do ângulo de inclinação do plano, medido em graus.
• μ
   → coeficiente de atrito, pode ser estático, quando o corpo está na iminência do movimento (quase se movimentando), ou cinético, quando o corpo está se movimentando; não possui unidade de medida.
• cos θ
  → cosseno do ângulo de inclinação do plano, medido em graus.

Importante: Essa fórmula só é válida quando o corpo em um plano inclinado com atrito estiver sofrendo a atuação das forças peso, normal e de atrito simultaneamente, caso contrário, será necessário calcular a aceleração por meio da segunda lei de Newton.

Exercícios resolvidos sobre o plano inclinado com atrito

Questão 1

(Ufla) Um bloco de gelo desprende-se de uma geleira e desce um plano inclinado com atrito. Qual o diagrama que representa corretamente as forças que atuam sobre o bloco?

A)

B)

C) 

D) 

E) 

Resolução:

Alternativa A

As forças que atuam sobre o bloco são: força peso orientada para baixo, força de atrito orientada para a esquerda e força normal orientada para cima.

Questão 2

(Unifor) Um bloco de massa de 4,0 kg é abandonado num plano inclinado de 37º com a horizontal com o qual tem coeficiente de atrito 0,25. A aceleração do movimento do bloco é em m/s². Dados: g = 10 m/s²; sen 37º = 0,60; cos 37º = 0,80.

A) 2,0

B) 4,0

C) 6,0

D) 8,0

E) 10

Resolução:

Alternativa B

Como nesse exercício só temos a força peso, força normal e força de atrito atuando sobre o bloco, podemos calcular a sua aceleração pela fórmula:

\(a=g\cdot(\sin{\theta}-\mu\cdot\cos{\theta})\)

\(a=10\cdot(sin37°-0,25\cdot cos37°)\)

\(a=10\cdot(0,6-0,25\cdot0,8)\)

\(a=10\cdot(0,6-0,2)\)

\(a=10\cdot(0,4)\)

\(a=4\ m/s^2\)

Fontes

HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos da Física: Mecânica. 8. ed. Rio de Janeiro, RJ: LTC, 2009.

NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de física básica: Mecânica (vol. 1). 5 ed. São Paulo: Editora Blucher, 2015.