Ondas estacionárias

Uma onda estacionária ocorre quando uma onda incide em um ponto fixo e retorna ao ponto inicial, superpondo as ondas que vão de encontro a ela, resultando em interferências construtivas (ventres ou antinós) e destrutivas (nós), consecutivamente. Devido a essa incidência e reflexão constante em um espaço físico limitado, ocorre a impressão de que a onda não está se movendo em nenhum sentido. O nome “estacionária” se dá devido a isso.

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Resumo sobre ondas estacionárias

• Uma onda é estacionária quando uma onda incidente é superposta por uma onda que está sendo refletida no mesmo meio após se chocar com um ponto fixo. Quando isso ocorre, há uma interferência construtiva ou uma interferência destrutiva.

• As características de uma onda são amplitude, frequência, período e comprimento de onda.

• A velocidade de oscilação de uma onda é a razão entre o comprimento de onda com o seu período de formação.

• Outra forma de determinar a velocidade de oscilação é por meio do produto do comprimento de onda com a frequência de oscilação.

• Os nós são resultado da interferência destrutiva entre as ondas incidentes e refletidas.

• Os ventres ou antinós são resultado da interferência construtiva entre as ondas incidentes e refletidas.

• Ondas estacionárias em uma corda são do tipo transversal e ocorrem quando a corda está presa em pelo menos uma de suas extremidades.

• Ondas estacionárias em um tubo são do tipo longitudinal e ocorrem quando a onda está contida em um tubo com pelo menos uma extremidade livre.

Quais são as características das ondas estacionárias?

Uma onda é do tipo estacionária quando a onda incidente em uma corda, mola ou tubo é superposta pela onda que está refletida no mesmo meio após se chocar com um ponto fixo. Quando essa superposição ocorre, são geradas duas consequências simultâneas: a interferência construtiva e a destrutiva.

A interferência destrutiva ocorre quando a crista da onda incidente coincide com o vale da onda refletida ou o oposto (vale da primeira, crista da segunda). Dessa forma, somando as amplitudes de ambos os pulsos, o resultado é nulo. Assim, obtém-se um nó.

Quando acontece a superposição de duas cristas ou vales, ou seja, quando as posições das cristas ou vales nas duas ondas são as mesmas, ocorre a interferência construtiva. Com isso, os valores das amplitudes da primeira e da segunda onda são somados e, consequentemente, têm um valor maior que os originais, formando assim os ventres ou antinós. A figura a seguir representa passo a passo a onda incidente, refletida, e a formação dos ventres e nós.

Apesar de ser amplamente usado em livros, o termo “interferência” não é correto, e sua utilização é mantida por questões históricas. O termo correto é superposição, já que as ondas não interferem realmente, mas se sobrepõem.

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Velocidade das ondas estacionárias

A velocidade é a razão entre o espaço percorrido e o tempo gasto para percorrê-lo. Ao lidar com uma onda, o espaço percorrido é o comprimento de onda λ (distância entre o início de duas cristas ou vales consecutivos) e o tempo é o período T (tempo necessário para formação de um comprimento de onda).

\(v=\frac{\lambda}{T}\)

Considerando a frequência f (quantidade de vezes que o comprimento de onda se repete no intervalo de 1 segundo) como o inverso do período, a fórmula anterior pode ser reescrita.

\(T=\ \frac{1}{f}\ \rightarrow f=\frac{1}{T}\)

\(v=\lambda·f\)

A figura a seguir representa as formas pelas quais o comprimento de onda pode ser representado.

Ondas estacionárias em uma corda

Quando uma onda é formada em uma corda, a direção de vibração da onda é perpendicular à direção de propagação da onda. Quando isso ocorre, a onda é chamada de transversal. Considere uma onda formada em uma corda em que a separação entre um extremo e o ponto fixo é tida como uma distância d. Logo, a medida do comprimento de onda é a razão entre o dobro da distância d e a quantidade n de ventres formados (vales ou cristas).

\(\lambda=\frac{2·d}n\)

Em uma corda, a distância entre dois nós, formando um ventre, é chamado de primeiro harmônico (n) ou frequência fundamental. Quando se formam dois ventres utilizando três nós, há o segundo harmônico. A figura a seguir representa cinco cordas com o mesmo comprimento e a mesma distância entre os pontos fixos, mas com comprimentos de onda distintos, devido à quantidade de ventres.

Analisando a figura, chega-se à conclusão de que quanto mais ventres a corda forma, menor é seu comprimento de onda e, consequentemente, menor é sua velocidade, já que a velocidade da onda em uma corda é diretamente proporcional à sua frequência.

\(v=\lambda·f\)

Para gerar uma onda em uma corda, é necessária a aplicação de uma força. Como trata-se de uma corda, a força é do tipo tração (F). A velocidade da corda depende do seu comprimento, da sua massa e da tração aplicada. Com a relação entre massa e comprimento, obtém-se a densidade linear da corda (µ = kg/m), que é a razão entre a massa (m = kg) da corda e o seu comprimento (L = m).

\(\mu=\frac{m}{L}\)

Por sua vez, a velocidade da onda em uma corda é a raiz quadrada da razão entre a força tração e a densidade linear da corda.

\(v=\sqrt{\frac{F}{\mu}}\)

• Exemplos de cálculo

Exemplo 1: A imagem a seguir representa uma onda formada pelo movimento de uma corda de 3 kg e 5 m de comprimento devido à aplicação de uma força tração de 60 N em uma de suas extremidades. Entre os pontos fixos que prendem a corda, há 2 metros de comprimento. Com essas informações, determine:

1. A densidade linear da corda:

• m = 3 kg

• L = 5 m

• µ = ?

\(\mu=\frac{m}{L}=\frac{3}{5}=0,6\ kg/m\)

2. A velocidade da onda na corda:

• F = 60 N

\(v=\sqrt{\frac{F}{\mu}}=\sqrt{\frac{60}{0,6}}=\sqrt{100}=10\ m/s\)

3. O comprimento de onda:

• d = 2 m

• λ = ?

Considerando que são formados 4 comprimentos de onda entre os pontos fixos da corda, sendo a distância entre eles d = 2 m, logo:

\(d = 4\ · λ\)

\(2 = 4\ · λ\)

\(\lambda=\frac{2}{4}=0,5\ m\)

4. A frequência da onda formada:

• \( v=10\ m/s\ \)

• \( \lambda=0,5\ m\)

• f = ?

\(v=\lambda·f\)

\(10 = 0,5\ · f\)

\(f=\frac{10}{0,5}=20\ Hz\)

5. O tempo gasto para a formação de um comprimento de onda:

• f = 20 Hz

• T = ?

\(T=\frac{1}{f}=\frac{1}{20}=0,05\ s\)

Ondas estacionárias em tubos sonoros

Ondas sonoras são ondas mecânicas longitudinais, ou seja, vibram no mesmo sentido da sua propagação. Quando as ondas sonoras se propagam em um tubo finito e fechado e se deparam com um obstáculo que não podem transpassar, são refletidas e superpõem as ondas que estão no sentido oposto, formando assim ondas estacionárias dentro do tubo.

Quando uma onda longitudinal se propaga em um fluido (liquido ou gás), ela causa seu deslocamento. Consequentemente, ocorre variação da sua pressão. Por se tratar de uma onda estacionária, há formação de ventres e nós. Porém, quando ocorre um nó de deslocamento, a pressão do ar é máxima (ventre de pressão) dentro do tubo. Quando ocorre um ventre de deslocamento, a pressão é nula (nó de pressão).   

Dentro do tubo, a onda começa com um nó e termina com um ventre ou vice-versa. Quando uma partícula está sobre o nó, ela não se move, devido ao fato de a pressão ser máxima. Mas quando ela está sobre o ventre, a sua oscilação é máxima, porque a pressão é nula. Esse fenômeno ocorre na formação da nossa voz e em instrumentos musicais de sopro, metálicos ou similares.

Em um tubo também ocorre a formação de harmônicos. Em um tubo fechado de comprimento L, cada harmônico equivale a um quarto de comprimento de onda (λ/4), que é igual à distância de um nó a um ventre.

Como observa-se na fórmula a seguir, à medida que os harmônicos (n) aumentam, o comprimento de onda diminui.

\(\lambda=\frac{4L}{n}\)

Sabendo que 4L equivale ao comprimento do comprimento de onda (λ₁) do primeiro harmônico, a equação acima pode ser reescrita.

\(\lambda_1=4·L\)

\(\lambda=\frac{\lambda_1}{n}\)

A figura a seguir representa a forma como os harmônicos são formados em um tubo com uma extremidade aberta.

Em um tubo com abertura nas duas extremidades abertas, os harmônicos medem o mesmo que a distância entre dois nós, logo, equivalem a meio comprimento de onda (λ/2). Portanto, a relação entre o comprimento do tubo e o comprimento de onda é:

\(\lambda=\frac{2L}{n}\)

Sabendo que 2L equivale ao comprimento do comprimento de onda (λ₁) do primeiro harmônico, a equação acima pode ser reescrita.

\(\lambda_1=2·L\)

\(\lambda=\frac{\lambda_1}{n}\)

• Exemplo de cálculo

Em um tubo de 0,3 metros que possui uma das extremidades fechada é emitida uma onda sonora formando um total de 6 harmônicos. Considerando que a velocidade da onda dentro do tubo foi igual a 400 m/s, calcule a frequência dessa onda.

Resposta

Extraindo os dados:

• L = 0,3 m

• n = 6 harmônicos

• v = 400 m/s

Como se trata de um tubo com uma das extremidades fechadas:

\(\lambda=\frac{4L}{n}=\frac{4·0,3}6=\frac{1,2}6=0,2 m\)

\(v = λ\ · f\)

\(400 = 0,2\ · f\)

\(f=\frac{400}{0,2}=2000\ Hz\)

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Exercícios resolvidos sobre ondas estacionárias

Questão 1

Uma corda teve uma das suas extremidades presa em um suporte fixo, e a outra extremidade recebeu a ação de uma força que fez com que ela formasse 4 harmônicos em 0,5 segundos, como é demonstrado na figura a seguir. Qual é o tipo de onda formado, seu período e sua velocidade?

a) Longitudinal — 1 s - 10 m/s

b) Progressiva — 5 s - 8 m/s

c) Estacionária — 0,25 s - 4 m/s

d) Longitudinal — 10 s - 12 m/s

e) Transversal — 0,25 s - 10 m/s

Resposta

Como se trata de uma corda formando ventres e nós fixa em pelo menos uma de suas extremidades, ela forma uma onda estacionária, já que as ondas se superpõem.

Extraindo os dados:

• n = 4 harmônicos

• t = 0,5 s

• L = 2 m (distância entre os extremos das cordas formando a onda)

• v = ?

Para descobrir a velocidade, é necessário saber o valor do comprimento de onda. Assim, deve-se utilizar sua relação com o número de harmônicos.

\(\lambda=\frac{2\cdot L}{n}=\frac{2·2}4=\frac44=1 m\)

Foi dado o tempo para a formação de toda a onda, porém para descobrir a velocidade é necessário o período, que é o tempo de formação de 1 comprimento de onda. Cada harmônico equivale à distância entre dois ventres, ou seja, metade do comprimento de onda. Dessa forma, o número de harmônicos é o dobro do número de comprimentos de onda que a compõem. Assim, há no total 2 comprimentos de onda na figura, e para sua formação foi gasto 0,5 s.

2 · λ = 0,5 s

\(\lambda=\frac{0,5}{2}=0,25\ s\)

Com isso, verificou-se que para a formação de um comprimento de onda foi gasto 0,25 s. O tempo necessário para a formação de um comprimento de onda é o período. Logo, utiliza-se a fórmula da velocidade com o período.

\(v=\frac{\lambda}{T}=\frac{1}{0,25}=4\ m/s\)

Gabarito: C

Questão 2

Uma corda de 3 kg tem uma de suas extremidades fixa, e a outra sofre ação de uma força de 108 N, fazendo com que a corda vibre com velocidade de 12 m/s. Para isso ser possível, o comprimento da corda deve ser de:

a) 4 m

b) 6 m

c) 5 m

d) 7 m

e) 2 m

Resposta

Extraindo os dados

• m = 3 kg

• F = 108 m/s

• v = 12 m/s

• L = ?

Nas condições propostas, para calcular o comprimento é necessário obter primeiramente a densidade linear da corda.

\(v=\sqrt{\frac{F}{\mu}}\)

\(12=\sqrt{\frac{108}{\mu}}\)

Para eliminar o radical é necessário elevar os dois lados da equação ao quadrado, assim o radical é anulado com o expoente.

\(12=(\sqrt{\frac{108}{\mu}})\)

\(144=\frac{108}{\mu}\)

\(144·μ=108\)

\(\mu=\frac{108}{144}=0,75\ kg/m\)

Utilizando agora a fórmula da densidade linear:

\(\mu=\frac{m}{L}\)

\(0,75=\frac{3}{L}\)

\(0,75·L=3\)

\(L=\frac{3}{0,75}=4\ m\)

Gabarito: A