Movimento harmônico simples (MHS)

O movimento harmônico simples (MHS) é o movimento periódico produzido por um corpo ao redor da sua posição de repouso quando alteramos seu estado inicial ao aplicarmos uma força. Ele é caracterizado pela amplitude, período, frequência e velocidade angular. Nele não há forças dissipativas, em razão da conservação da energia mecânica.

Leia também: O que é movimento circular uniformemente variado?

Resumo sobre movimento harmônico simples (MHS)

• Movimento harmônico simples (MHS) é o movimento oscilatório realizado por um corpo em torno de sua posição de equilíbrio.

• Esse movimento possui várias características que o descrevem: amplitude, período, frequência e velocidade angular.

• A amplitude é a altura da onda.

• O período é o tempo para completar uma oscilação.

• A frequência é o número de oscilações feitas em um tempo específico.

• A velocidade angular é a velocidade de um corpo durante um movimento circular.

• O movimento harmônico simples é descrito por meio das funções horárias da posição, da velocidade e da aceleração.

• Os casos de movimento harmônico simples são o oscilador massa-mola e o pêndulo simples.

• O oscilador massa-mola é um sistema em que há um objeto preso a uma mola oscilando em torno da sua posição de equilíbrio, devido à compressão ou expansão da mola.

• No oscilador massa-mola, a frequência e velocidade angular são proporcionais à constante da mola. Já o período é proporcional à massa do corpo conectado.

• O pêndulo simples é um sistema em que há um objeto preso a um fio que oscila em torno da sua posição de equilíbrio, devido à força aplicada sobre ele.

• No pêndulo simples, o período é proporcional ao comprimento do fio e inversamente proporcional à aceleração da gravidade.

• No movimento harmônico simples, há conservação da energia mecânica.

• As energias no movimento harmônico simples variam de acordo com a posição do objeto.

Características do movimento harmônico simples (MHS)

No movimento harmônico simples, há diversas características que descrevem o seu movimento, sendo elas a amplitude, período, frequência e velocidade angular. Na imagem, podemos ver algumas dessas características.

→ Amplitude no movimento harmônico simples (MHS)

A amplitude é a altura da onda, correspondendo à diferença entre a crista, o ponto mais alto que ela atingiu, e o ponto de equilíbrio, o ponto zero. Também pode ser a distância entre um dos pontos extremos do movimento e o ponto de equilíbrio.

→ Período no movimento harmônico simples (MHS)

O período é o tempo que leva para que o sistema em movimento harmônico simples complete uma oscilação, sendo o inverso da frequência.

→ Frequência  no movimento harmônico simples (MHS)

A frequência é a quantidade de oscilações realizadas pelo sistema em movimento harmônico simples em um determinado tempo, sendo o inverso do período.

→ Velocidade angular no movimento harmônico simples (MHS)

 A velocidade angular, também chamada de pulsação ou frequência angular, é a rapidez com que um corpo se desloca em um movimento circular.

Fórmulas do movimento harmônico simples (MHS)

→ Função horária da posição

\(x(t)=A\cdot cos⁡(ω\ t+ϕ)\)

• \(x(t)\) → posição em função do tempo, medida em metros \([m]\).

• A → amplitude da onda, medida em metros \([m]\).

• \(ω\ t+ϕ\) → fase do movimento.

• ω  → velocidade angular, medida em \([rad/s]\).

• t → tempo, medido em segundos \([s]\).

• \(ϕ\) → constante de fase.

Exemplo:

Qual a função horária da posição de um oscilador harmônico que possui amplitude de 1,5 metros, velocidade angular de 0,5 rad/s e constante de fase igual a \(\frac{\pi}{2}\)?

Resolução:

A função horária da posição de oscilador harmônico é dada pela equação:

\(x(t)=A\cdot cos⁡(ω\ t+ϕ)\)

Substituindo os valores dados no enunciado, obteremos a função para esse caso:

\(x(t)=1,5\cdot cos⁡0\ (0,5\cdot t+\frac{π}2)\)

→ Função horária da velocidade

\(v(t)=-ω\cdot A\cdot sin\ (ω\ t+ϕ)\)

• \(v(t)\) → velocidade em função do tempo, medida em metros \([m/s]\).

• A → amplitude da onda, medida em metros \([m]\).

• \(ω\ t+ϕ\) → fase do movimento.

• ω → velocidade angular, medida em \([rad/s]\).

• t → tempo, medido em segundos \([s]\).

• \(ϕ\) → constante de fase.

Exemplo:

Qual a função horária da velocidade de um oscilador harmônico que possui amplitude de 3 metros, velocidade angular de 6 rad/s e constante de fase igual a \(\frac{\pi}{4}\)?

Resolução:

A função horária da velocidade de oscilador harmônico é dada pela equação:

\(v(t)=-ω\cdot A\cdot sin⁡(ω\ t+ϕ)\)

Substituindo os valores dados no enunciado, obteremos a função para esse caso:

\(v(t)=3\cdot cos⁡(6\cdot t+\frac{π}4)\)

→ Função horária da aceleração

\(a(t)=ω^2\cdot A\cdot cos(ω\ t+ϕ)\)

• \(a(t)\) → aceleração em função do tempo, medida em metros \([m/s^2]\).

• A → amplitude da onda, medida em metros \([m]\).

• \(ω\ t+ϕ \) → fase do movimento.

• ω → velocidade angular, medida em \([rad/s]\).

• t → tempo, medido em segundos \([s]\).

• \(ϕ \) → constante de fase.

Pode ser representada também por:

\(a(t)=ω^2\cdot x(t)\)

• \(a(t)\) → aceleração em função do tempo, medida em metros \([m/s^2]\).

• ω → velocidade angular, medida em \([rad/s]\).

• \(x(t)\) → posição em função do tempo, medida em metros \([m]\).

Exemplo:

Qual a função horária da aceleração de um oscilador harmônico que possui amplitude de 2,5 metros, velocidade angular de 4 rad/s e constante de fase igual a π?

Resolução:

A função horária da aceleração do oscilador harmônico é dado pela equação:

\(a(t)=ω^2\cdot A\cdot cos⁡(ω\ t+ϕ)\)

Substituindo os valores dados no enunciado, obteremos a função para esse caso:

\(x(t)=2,5\cdot cos⁡(4+π)\)

→ Período

\(T=\frac{1}f\)

• T  → período, medido em segundos \([s]\).

• f  → frequência, medida em Hertz \([Hz]\).

Pode ser representado também por:

\(T=\frac{∆t}n\)

• T → período, medido em segundos \([s]\).

• \(∆t\) → variação de tempo, medida em segundos \([s]\).

• n → número de oscilações.

→ Frequência 

\(f=\frac{1}T\)

• f → frequência, medida em Hertz \([Hz]\).

• T → período, medido em segundos \([s]\).

Pode ser representada também por:

\(f=\frac{n}{∆t}\)

• f → frequência, medida em Hertz \([Hz]\).

• n  → número de oscilações.

• \(∆t\) → variação de tempo, medida em segundos \([s]\).

→ Velocidade angular

\(ω=2\cdotπ\cdot f\)

• \(ω\) → velocidade angular, medida em \([rad/s]\).

• f → frequência, medida em Hertz \([Hz]\).

Pode ser representada também por:

\(ω=\frac{2π}T\)

• \(ω\) → velocidade angular, medida em \([rad/s]\).

• T → período, medido em segundos \([s]\).

Veja também: Relação entre as velocidades, o período e a frequência no movimento circular uniforme (MCU)

Exemplos de movimento harmônico simples (MHS)

Os principais exemplos de movimento harmônico simples são os osciladores harmônicos e os pêndulos simples, como veremos a seguir.

→ Oscilador massa-mola

O oscilador massa-mola, também chamado de oscilador harmônico, é um sistema composto por um corpo conectado a uma mola que ao deformar, seja comprimindo ou alongando a mola, passa a oscilar em torno da sua posição de equilíbrio (ponto em que está parado) em razão da força elástica exercida pela mola, como podemos ver na imagem abaixo:

No oscilador harmônico, o material da mola e a massa do corpo associado interferem na rapidez da oscilação. Quanto mais rígida for a mola, mais rápida será a velocidade e a frequência de oscilação, já que essas grandezas são proporcionais à constante da mola. Contudo, o período de oscilação é proporcional à massa do objeto conectado, sendo que quanto mais leve for, mais rápido será seu período.

Em razão disso, podemos calcular o período, a frequência e a velocidade angular do oscilador massa-mola por meio das fórmulas a seguir.

◦ Período do oscilador massa-mola

\(T=2π\cdot\sqrt{\frac{m}k}\)

• T → período, medido em segundos \([s]\).

• m → massa do corpo, medida em quilogramas \([kg]\).

• k → constante da mola, medida em \([N/m]\).

◦ Frequência do oscilador massa-mola

\(f=\frac{1}{2π}\cdot\sqrt{\frac{k}{m}}\)

• f → frequência, medida em Hertz \([Hz]\).

• k → constante da mola, medida em \([N/m]\).

• m → massa do corpo, medida em quilogramas \([kg]\).

◦ Velocidade angular do oscilador massa-mola

\(ω=\sqrt{\frac{k}{m}}\)

• \(ω\) → velocidade angular, medida em \([rad/s]\).

• k → constante da mola, medida em \([N/m]\).

• m → massa do corpo, medida em quilogramas \([kg]\).

→ Pêndulo simples

O pêndulo simples é um sistema constituído por um corpo preso a um fio que não se estende. Ao ser aplicada uma força, ele passa a oscilar, na existência de um campo gravitacional, como podemos ver na imagem a seguir:

No pêndulo simples, o comprimento do fio e a aceleração da gravidade do local influenciam na rapidez da oscilação. Quanto maior for o comprimento do fio, maior será o seu período de oscilação. Já quanto maior for a aceleração da gravidade em que foi colocado o pêndulo, menor será o seu período de oscilação.

Em razão disso, podemos calcular o período e a frequência do pêndulo simples por meio das fórmulas a seguir.

◦ Período do pêndulo simples

\(T=2\cdotπ\cdot\sqrt{\frac{l}g}\)

• T → período, medido em segundos \([s]\).

• l → comprimento do fio, medido em metros \([m]\).

• g → aceleração da gravidade, medida em \([m/s^2]\).

◦ Frequência do pêndulo simples

\(f=\frac{1}{2\cdotπ}\cdot\sqrt{\frac{g}l}\)

• f → frequência, medida em Hertz \([Hz]\).

• g → aceleração da gravidade, medida em \([m/s^2]\).

• l → comprimento do fio, medido em metros \([m]\).

Energias no movimento harmônico simples (MHS)

No movimento harmônico simples, não há forças dissipativas, como a força de atrito e a força de arraste, já que a energia mecânica é conservada. A energia cinética é convertida em energia potencial ou vice-versa.

Em razão disso, começamos com a fórmula da conservação de energia mecânica para calcular as energias no MHS, que é dada por:

\(E_m=E_c+E_{pel}\)

• \(E_m\) → energia mecânica, medida em Joule \([J]\).

• \(E_c\) → energia cinética, medida em Joule \([J]\).

• \(E_{pel}\) → energia potencial elástica, medida em Joule \([J]\).

Contudo, essa fórmula sofrerá alterações de acordo com a posição em que o objeto se encontra, como veremos a seguir.

→ Energia de um objeto na posição de equilíbrio

Quando o objeto estiver na posição de equilíbrio, não há energia potencial elástica, já que a posição está no ponto zero, como podemos ver na imagem abaixo.

Como \(x=0\),  a velocidade será máxima, portanto a energia mecânica é dada pela fórmula:

\(E_m=\frac{m\cdot v_{máx}^2}2\)

• \(E_m\) → energia mecânica, medida em Joule \([J]\).

• m → massa, medida em quilograma \([kg]\).

• \(v_{máx}\) → velocidade máxima, medida em \([m⁄s]\).

→ Energia de um objeto no ponto de máxima compressão

Quando o objeto estiver na posição de máxima compressão, em que \( x=-A\), não há energia cinética, já que a velocidade é igual a zero, como podemos ver na imagem abaixo.

Como \(v=0\), a posição será de máxima compressão, portanto a energia mecânica é dada pela fórmula:

\(E_m=\frac{k\cdot x_{máx}^2}2\)

• \(E_m\) → energia mecânica, medida em Joule \([J]\).

• k  → constante da mola, medida em \([N/m]\).

• \(x_{máx}\) → deformação máxima da mola, medida em metros \([m]\).

Se chamarmos o ponto de máxima compressão de \(-A\), a fórmula muda para:

\(E_m=\frac{k\cdot A^2}2\)

• Em  → energia mecânica, medida em Joule \([J]\).

• k  → constante da mola, medida em \([N/m]\).

• A  → deformação máxima da mola, medida em metros \([m]\).

→ Energia de um objeto no ponto de máxima elongação

Quando o objeto estiver na posição de máxima elongação, em que \(x=A\), não há também energia cinética, pois a velocidade é igual a zero, como podemos ver na imagem abaixo.

Como \(v=0\), a posição será de máxima elongação, portanto a energia mecânica é dada pela fórmula:

\(E_m=\frac{k\cdot x_{máx}^2}2\)

• \(E_m\) → energia mecânica, medida em Joule \([J]\).

• k → constante da mola, medida em \( [N/m]\).

• \(x_{máx}\) → elongação máxima da mola, medida em metros \( [m]\).

Se chamarmos o ponto de máxima elongação de A, a fórmula muda para:

\(E_m=\frac{k\cdot A^2}2\)

• \(E_m\) → energia mecânica, medida em Joule \([J]\).

• k → constante da mola, medida em \([N/m]\).

• A  → elongação máxima da mola, medida em metros \([m]\).

→ Energia em um ponto qualquer

Quando o objeto estiver em um ponto qualquer que não seja nos pontos máximos e no ponto de equilíbrio, a energia mecânica é dada pela somatória entre a energia cinética e a energia potencial elástica:

\(E_m=E_c+E_{pel}\)

• \(E_m\) → energia mecânica, medida em Joule \([J]\).

• \(E_c\) → energia cinética, medida em Joule \([J]\).

• \(E_{pel}\) → energia potencial elástica, medida em Joule \([J]\).

Então, a energia mecânica de um objeto em uma posição qualquer que descreve um movimento harmônico simples é:

\(E_m=\frac{m\cdot v^2}2+\frac{k\cdot x^2}2\)

• \(E_m\) → energia mecânica, medida em Joule \([J]\).

• m → massa, medida em quilograma \([kg]\).

• v → velocidade, medida em \([m/s]\).

• k → constante da mola, medida em \([N/m]\).

• x → elongação ou deformação da mola, medida em metros \([m]\).

Saiba mais: Energia potencial elétrica — a energia relacionada à interação entre corpos eletricamente carregados

Exercícios resolvidos sobre movimento harmônico simples (MHS)

Questão 1

(Unitau) Um corpo de massa m, ligado a uma mola de constante elástica k, está animado de um movimento harmônico simples. Nos pontos em que ocorre a inversão no sentido do movimento:

A) são nulas a velocidade e a aceleração.

B) são nulas a velocidade e a energia potencial.

C) o módulo da aceleração e a energia potencial são máximas.

D) a energia cinética é máxima e a energia potencial é mínima.

E) a velocidade, em módulo, e a energia potencial são máximas.

Resolução:

Alternativa C

Nos pontos em que ocorre a inversão no sentido do movimento harmônico simples, há uma velocidade nula que ocasiona uma energia cinética nula. Em razão disso, a energia potencial é máxima, assim como a aceleração.

Questão 2

(Osec) Um móvel executa um movimento harmônico simples de equação

\(x(t)=8\cdot cos⁡(\frac{π}8\cdot t)\)

Em que t é dado em segundos e x em metros. Após 2,0 s, a elongação do movimento é:

A) zero

B) 2,0 m

C) 3,5 m

D) 5,7 m

E) 8,0 m

Resolução:

Alternativa D

A elongação do movimento será dada pela substituição do tempo de 2 segundos na sua equação:

\(x(t)=8\cdot cos⁡(\frac{π}8\cdot 2)\)

\(x(t)=8\cdot cos⁡(\frac{π}4)\)

\(x(t)=8\cdot cos⁡(0,25\cdot\pi)\)

\(x(t)=8\cdot0,707\)

\(x(t)=5,7\ m\)

Quetão 3

Qual a velocidade angular e o período de onda harmônica simples de frequência 300 Hz? Considere π = 3.

A) 1900 rad/s e 0,0034 s

B) 1100 rad/s e 0,0039 s

C) 1300 rad/s e 0,0035 s

D) 1800 rad/s e 0,0033 s

E) 1700 rad/s e 0,0027 s

Resolução:

Alternativa D

Calcularemos a velocidade angular da onda usando a fórmula:

\(ω=2\cdot π\cdot f\)

\(ω=2\cdot3\cdot300\)

\(ω=1800\ rad/s\)

Já o período é calculado usando a fórmula:

\(T=\frac{1}f\)

\(T=\frac{1}{300}\)

\(T≈0,0033\ s\)

Assim, a velocidade angular dessa onda é de \(1800\ \frac{rad}s\), e o seu período é de 0,0033 s.