Leis de Kepler

As leis de Kepler são três leis da Mecânica elaboradas por Johannes Kepler com o intuito de descrever o movimento planetário. As três leis de Kepler compreendem:

• primeira lei de Kepler, ou lei das órbitas;

• segunda lei de Kepler, ou lei das áreas;

• terceira lei de Kepler, ou lei dos períodos.

Leia também: Leis de Newton — três importantes leis da Mecânica desenvolvidas por Isaac Newton

Resumo sobre leis de Kepler

• As leis de Kepler são leis da gravitação que contribuíram significativamente para a nossa compreensão a respeito do movimento dos corpos celestes.

• Existem três leis de Kepler: primeira lei de Kepler, ou lei das órbitas; segunda lei de Kepler, ou lei das áreas; e terceira lei de Kepler, ou lei dos períodos.

• De acordo com a primeira lei de Kepler, os corpos celestes se movem em órbitas elípticas ao redor do Sol, com ele em um dos focos.

• De acordo com a segunda lei de Kepler, um corpo celeste que orbite outro em um referencial fixo deslocará áreas iguais em um mesmo período de tempo.

• De acordo com a terceira lei de Kepler, o quadrado do período de revolução do corpo celeste é proporcional ao cubo do raio médio da sua órbita.

• As leis de Kepler propiciaram a formulação matemática da lei da gravitação universal.

Origem das leis de Kepler

As três leis de Kepler foram desenvolvidas entre os anos de 1609 e 1619 por Johannes Kepler (1571-1630), um matemático, astrônomo e astrólogo alemão.

A primeira e segunda lei de Kepler foram desenvolvidas através das observações do astrônomo Tycho Brahe (1546-1601) e conclusões de Kepler a respeito da órbita excêntrica de Marte, que tinha movimento elíptico e variações de velocidade à medida que variava a sua distância do Sol. Vale ressaltar que a segunda lei de Kepler é uma consequência do princípio de conservação do momento angular, grandeza física relacionada à rotação dos corpos.

A terceira lei de Kepler foi desenvolvida quando Kepler quis descobrir um padrão no qual pudesse relacionar os raios médios das orbitas dos planetas com os seus períodos de revolução (ou translação). Então, baseando-se nas informações obtidas ao longo dos seus 17 anos de trabalho a respeito das observações de Tycho Brahe e algumas tentativas falhas, em 1618 Kepler desenvolveu sua terceira lei.

Essas leis foram formuladas para os corpos celestes do Sistema Solar que descrevem um movimento ao redor do Sol, contudo ela também é válida (algumas vezes necessitando de correções matemáticas) para quaisquer corpos celestes do universo, desde que um deles seja um referencial fixo. Por exemplo, para o movimento da Lua ao redor da Terra, Mercúrio ao redor do Sol, etc.

Quais são as leis de Kepler?

Existem três leis de Kepler: a lei das órbitas, a lei das áreas e a lei dos períodos.

→ 1ª lei de Kepler: lei das órbitas

A primeira lei de Kepler, também conhecida como lei das órbitas, estabelece que a órbita dos corpos celestes que se movem ao redor do Sol descreve uma elipse e não um círculo, e o Sol está posicionado em um dos focos dessa elipse, conforme demonstrado na imagem abaixo.

Para saber mais sobre a 1ª lei de Kepler: lei das órbitas, clique aqui.

→ 2ª lei de Kepler: lei das áreas

A segunda lei de Kepler, também conhecida como lei das áreas, estabelece que posicionando um corpo celeste como referencial fixo e tendo outro o orbitando, o movimento desse último descreverá áreas iguais em um mesmo intervalo de tempo. Ou seja, o tempo para que esse corpo celeste se desloque na área 1 é igual ao tempo para que ele se desloque na área 2, já que essas áreas são iguais, ainda que tudo indique que são diferentes, conforme demonstrado na imagem abaixo.

Em consequência dessa lei, a velocidade orbital do corpo celeste se altera com a sua posição em relação ao corpo fixado, sendo que a velocidade do corpo aumenta quando ele está no periélio (ponto mais próximo do corpo fixado) e diminui quando ele está no afélio (ponto mais afastado do corpo fixado).

Essa lei é representada matematicamente através da fórmula:

\(\frac{{A_{1}}}{{\Delta t_{1}}} = \frac{{A_{2}}}{{\Delta t_{2}}} \)

• \(A_{1} \) e \(A_{2}\) → áreas compreendidas pelo movimento, medidas em \({m} ^ {2}\).

• \(\Delta t_{1} \) e \(\Delta t_{2} \)→ variações do tempo ocorridas no deslocamento, medidas em segundos.

Para saber mais sobre a 2ª lei de Kepler: lei das áreas, clique aqui.

→ 3ª lei de Kepler: lei dos períodos ou lei harmônica

A terceira lei de Kepler, também conhecida como lei dos períodos ou lei harmônica, estabelece que o cubo do raio médio da órbita de um corpo celeste é diretamente proporcional ao quadrado do período de translação desse corpo ao redor de outro. Ou seja, quanto mais tempo levar para um corpo celeste orbitar outro corpo, maior será a distância entre eles.

Essa lei é representada matematicamente através da fórmula:

\(\frac{{T_{1}^{2}}}{{R_{1}^{3}}} = \frac{{T_{2}^{2}}}{{R_{2}^{3}}} \)

\(T_{1} \) e \(T_{2} \)→ períodos de revolução de dois planetas.

\(R_{1} \)e \(R_{2} \)→ raios médios das órbitas dos dois planetas em questão.

Para saber mais sobre a 3ª lei de Kepler: lei dos períodos, clique aqui.

Relação entre as leis de Kepler e a gravitação universal

A lei da gravitação universal é uma lei formulada teoricamente por Isaac Newton (1643-1727) que estabelece como os corpos se mantêm em sua órbita e a força gravitacional (e atrativa) entre os corpos celestes massivos.

Já a sua formulação matemática só foi desenvolvida quando Newton estudou sobre a descrição dos movimentos planetários dos astrônomos Galileu Galilei (1564-1642), Tycho Brache (1546-1601) e, principalmente, as três leis de Johannes Kepler (1571-1630).

Baseado nisso, Newton concluiu que a força de atração gravitacional é diretamente proporcional à massa do Sol e do planeta (mas ela é válida para quaisquer corpos celestes) e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles, produzindo a equação da lei da gravitação universal.

Só tempos depois a constante de gravitação universal foi inserida na equação da lei da gravitação universal, por meio do experimento da balança de torção criada pelo físico e químico Henry Cavendish (1731-1810).

Saiba mais: Existe uma quarta lei de Kepler?

Exercícios resolvidos sobre leis de Kepler

Questão 1

(Unesp) Analise o movimento de um planeta em diversos pontos de sua trajetória em torno do Sol, conforme aparece na figura. Considerando os trechos entre os pontos A e B e entre os pontos C e D, pode-se afirmar que:

A) entre A e B, a área varrida pela linha que liga o planeta ao Sol é maior do que aquela entre C e D.

B) caso as áreas sombreadas sejam iguais, o planeta se move com maior velocidade escalar no trecho entre A e B.

C) caso as áreas sombreadas sejam iguais, o planeta se move com maior velocidade escalar no trecho entre C e D.

D) caso as áreas sombreadas sejam iguais, o planeta se move com a mesma velocidade nos dois trechos.

E) caso as áreas sombreadas sejam iguais, o tempo levado para o planeta ir de A até B é maior que entre C e D.

Resolução:

Alternativa B.

De acordo com a segunda lei de Kepler, caso as áreas sombreadas sejam iguais, o planeta se move com maior velocidade escalar no trecho entre A e B, quando está próximo ao Sol, no periélio.

Questão 2

(Vunesp) Grande parte dos satélites de comunicação estão localizados em órbitas circulares que estão no mesmo plano do equador terrestre. Geralmente esses satélites são geoestacionários, isto é, possuem período orbital igual ao período de rotação da Terra, 24 horas.

Considerando que a órbita de um satélite geoestacionário possui raio orbital de 42.000 km, um satélite em órbita circular no plano do equador, com raio orbital de 10.500 km, tem período orbital de:

A) 3 horas

B) 4 horas

C) 5 horas

D) 6 horas

E) 8 horas

Resolução:

Alternativa A.

Calcularemos o período orbital do satélite através da fórmula da terceira lei de Kepler:

\(\frac{{T_{1}^{2}}}{{R_{1}^{3}}} = \frac{{T_{2}^{2}}}{{R_{2}^{3}}} \)

\(\frac{{24}^{2}}{{42000}^{3}} = \frac{T_{2}^{2}}{{10500}^{3}} \)

\(\frac{576}{7,4088 \cdot 10^{13}} = \frac{T_{2}^2}{1,157625 \cdot 10^{12}} \)

\(\frac{576 \cdot 1,157625 \cdot 10^{12}}{7,4088 \cdot 10^{13}} = T_{2}^2 \)

\(90 \cdot 10^{12-13} = T_{2}^2 \)

\(9 \cdot 10^{1} \cdot 10^{-1} = T_{2}^{2} \)

\(9 = T_{2}^2 \)

\(\sqrt{9} = T_{2} \)

\(3 = T_{_{2}} \)

Fontes

HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos da Física: Gravitação, Ondas e Termodinâmica (vol. 2). 8. ed. Rio de Janeiro, RJ: LTC, 2009.

NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de física básica: Fluidos, Oscilações e Ondas, Calor (vol. 2). 5 ed. São Paulo: Editora Blucher, 2015.