Geometria espacial no Enem

 A geometria espacial é a área da Matemática que estuda a geometria tridimensional, com a compreensão de conceitos importantes, como a análise aprofundada dos sólidos geométricos, dos quais foram desenvolvidas fórmulas para o cálculo do volume e da área total.

No Enem, os conteúdos de geometria espacial são bastante recorrentes, aparecendo questões sobre o tema nas últimas provas. As questões que aparecem no exame vão desde o reconhecimento de sólidos geométricos até as principais propriedades de cada um desses sólidos. São recorrentes também questões que envolvem o volume de sólidos geométricos e o reconhecimento da planificação de um sólido geométrico.

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Resumo sobre geometria espacial no Enem

• A geometria espacial estuda objetos tridimensionais, como os sólidos geométricos.

• Questões sobre geometria espacial apareceram nas últimas provas.

• Os conteúdos da geometria espacial que caem na prova são:

  • reconhecimento de sólidos geométricos;

  • cálculo de área total e volume de sólidos geométricos;

  • propriedades específicas dos sólidos geométricos;

  • planificação.

O que é a geometria espacial?

A geometria espacial é a área da Matemática que estuda objetos geométricos tridimensionais. Estamos cercados de formas geométricas, como o cone, a esfera, os prismas, entre outras, e conhecer cada uma delas é fundamental.

Na geometria espacial, são estudados os sólidos geométricos, divididos em dois grupos:

• poliedros;

• corpos redondos.

Os poliedros são classificados como prismas, pirâmides e outros. Já os corpos redondos ou sólidos de revolução mais comuns são: o cone, o cilindro e a esfera. Além de reconhecer esses sólidos geométricos, é importante saber as características de cada um deles e a sua planificação. É na geometria espacial que se estuda também a área total e o volume de um sólido geométrico. Veja, a seguir, os principais sólidos geométricos e a fórmula de cada um para o cálculo de sua área total e seu volume.

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Principais sólidos geométricos estudados na geometria espacial

• Prismas

O prisma é o sólido geométrico formado por duas bases congruentes que sejam polígonos quaisquer, e possui laterais formadas por paralelogramos, unindo as duas bases. Existem vários tipos de prima, como o prisma de base hexagonal, o prisma de base triangular, o prisma de base quadrada, entre outros.

• Pirâmides

A pirâmide é um sólido geométrico que tem uma base formada por um polígono qualquer e faces laterais formadas por triângulos, encontrando-se num ponto em comum conhecido como vértice da pirâmide.

Assim como os prismas, a pirâmide pode ter várias bases diferentes, como a pirâmide de base quadrada, a pirâmide de base pentagonal, a pirâmide de base hexagonal, entre outras.

• Cilindro

O cilindro é um corpo redondo que possui duas bases formadas por círculos de mesmo raio. Para calcular o seu volume, precisamos do valor do seu raio e da sua altura. Em corpos redondos, é bastante comum a utilização da constante π para cálculo de volume e de área total.

• Cone

O cone é outro corpo redondo, pois ele é o sólido geométrico formado pela rotação de um triângulo. Assim como a pirâmide, o cone possui um vértice, mas, no caso, a base do cone é sempre um círculo.

A distância de um ponto da circunferência da base até o vértice é conhecida como geratriz, representada na fórmula da área total por g. Além da geratriz, da altura e do raio da base, no cone também é necessário utilizar a constante π para calcular o volume e a área.

• Esfera

O último corpo redondo é a esfera, uma forma bastante cotidiana. Ela é o conjunto de pontos que estão a uma mesma distância de um centro no espaço. Essa distância é conhecida como raio, que utilizamos para calcular o seu volume e sua área total.

Como a geometria espacial é cobrada no Enem?

Nos últimos exames, houve questões envolvendo geometria espacial. O tema mais recorrente nas provas ligado à geometria espacial é o cálculo do volume de sólidos geométricos. Além do cálculo de volume, é comum que haja questões sobre a identificação de sólidos geométricos, suas características e propriedades. Então, para resolver a prova, é fundamental que se saiba identificar as características de figuras espaciais bem como resolver situações-problemas que envolvam conhecimento geométrico de espaço e forma.

Existem também algumas questões do Enem que cobram a projeção de objetos tridimensionais no plano, o que exige do candidato que ele consiga relacionar a geometria plana com a geometria espacial. A planificação desses sólidos geométricos também já apareceu em algumas questões da prova.

Então, para se sair bem nas questões de geometria espacial, é importante que você conheça bem cada um dos sólidos geométricos, suas características e propriedades, e é fundamental que se domine o cálculo de volume e de área total de cada um desses sólidos.

As questões sobre a geometria espacial quase sempre vêm bem contextualizadas, com situações-problemas que devem ser resolvidas com base no conhecimento geométrico sobre aquele sólido. Assim, é fundamental a realização de uma leitura minuciosa da questão, pois entender o problema é imprescindível para alcançar sua resolução.

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Questões sobre geometria espacial no Enem

Questão 1

(Enem) Maria quer inovar sua loja de embalagens e decidiu vender caixas com diferentes formatos. Nas imagens apresentadas está a planificação dessas caixas.

Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá com base na planificação?

A) Cilindro, prima de base pentagonal e pirâmide.

B) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide.

C) Cone, tronco de pirâmide e pirâmide.

D) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma.

E) Cilindro, prisma e tronco de cone.

Resolução:

Alternativa A

Analisando a primeira planificação, é possível identificar que se trata de um cilindro, pois note que ela possui duas faces circulares e a face lateral é um único retângulo.

Analisando a segunda planificação, é possível identificar que se trata de um prisma (note que ele possui base pentagonal), pois tem duas faces pentagonais e cinco faces retangulares.

Por fim, a terceira planificação é uma pirâmide de base triangular. Perceba que ela possui uma base triangular ao meio e outras três faces triangulares, que formam as laterais.

Então as planificações são, respectivamente, um cilindro, um prisma de base pentagonal e uma pirâmide.

Questão 2

(Enem 2014) Uma pessoa comprou um aquário em forma de um paralelepípedo retângulo reto, com 40 cm de comprimento, 15 cm de largura e 20 cm de altura. Chegando em casa, colocou no aquário uma quantidade de água igual à metade de sua capacidade. A seguir, para enfeitá-lo, colocará pedrinhas coloridas, de volume igual a 50 cm³ cada, que ficarão totalmente submersas no aquário.

Após a colocação das pedrinhas, o nível da água deverá ficar a 6 cm do topo do aquário. O número de pedrinhas a serem colocadas deve ser igual a

A) 48.

B) 72.

C) 84.

D) 120.

E) 168.

Resolução:
Alternativa A

Para encontrar o volume desejado, basta lembrar que o volume da pedrinha será igual ao volume que aumentou no líquido. Como tem água até a metade da capacidade do aquário, e pedrinhas, sabemos que a metade de 20 é 10, e que (desses 10 cm, nesse caso) 10 – 6 = 4 cm. Dessa forma, a altura da água aumentou 4 cm quando se acrescentou as pedrinhas. Então, basta calcular o volume com a altura igual a 4 cm.

V = 40 ⸳ 15 ⸳ 4 = 2400 cm³

Como cada pedrinha possui 50 cm³de volume, então temos que:

2400 : 50 = 48 pedrinhas